Calculadora de secciones cónicas

Introduce la ecuación general de segundo grado para identificar el tipo de cónica, obtener su gráfica y la resolución paso a paso.

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Ejercicios resueltos

Analizar la ecuación $ x^2+y^2-25=0 $ y determinar el tipo de cónica que representa.

Análisis de la ecuación

Clasificación: Circunferencia.

Ecuación canónica: $ x^2 + y^2 = 25 $

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 + y^2 - 25 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -25 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(1)(1) = -4 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(-25) - 2(1)(0)^2 - 2(0)^2(-25) + 2(0)(0)(0) - 2(1)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -200 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 1 + 1 = 2 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real. Además, dado que A = C y B = 0, la cónica es una circunferencia.

Gráfico en el plano cartesiano de una circunferencia centrada en el origen obtenida del análisis de una ecuación general de segundo grado. — Gráfica de la circunferencia

Determinar el tipo de cónica que representa la ecuación $ 9x^2+16y^2-144=0. $

Análisis de la ecuación general

Clasificación: Elipse no degenerada.

Orientación: Horizontal (eje principal paralelo al eje X).

Ecuación ordinaria: $ \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 $

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de elipses.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ 9x^2 + 16y^2 - 144 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 9 \quad B = 0 \quad C = 16 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -144 $$

Realizaremos una análisis de los invariantes para determinar el tipo de cónica.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(9)(16) = -576 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(9)(16)(-144) - 2(9)(0)^2 - 2(0)^2(-144) + 2(0)(0)(0) - 2(16)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -165888 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 9 + 16 = 25 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo elipse obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado. — Gráfica de la cónica de tipo elipse

Hallar la cónica asociada a la siguiente ecuación general de segundo grado: $ y^2-8x-4y+28=0 $

Análisis de la ecuación

Tipo: Parábola no degenerada.

Orientación: Horizontal (eje principal paralelo al eje X).

Ecuación canónica: $ \left(y - 2\right)^2 = 8\left(x - 3\right) $

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de parábolas.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ y^2 - 8x - 4y + 28 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 0 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -8 \quad E = -4 \quad F = 28 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(0)(1) = 0 $$

Dado que Δ = 0, la ecuación corresponde a una parábola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(0)(1)(28) - 2(0)(-4)^2 - 2(0)^2(28) + 2(0)(-8)(-4) - 2(1)(-8)^2 \\[0.5em] \delta = -128 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo parábola obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado. — Gráfica de la sección cónica

Identificar qué curva cónica describe la expresión $ y^2-x^2-4x+6y-6=0. $

Análisis de la ecuación

Sección cónica: Hipérbola no degenerada.

Orientación: Vertical (eje principal paralelo al eje Y).

Ecuación ordinaria: $ \dfrac{\left(y + 3\right)^2}{11} - \dfrac{\left(x + 2\right)^2}{11} = 1 $

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de hipérbolas.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ -x^2 + y^2 - 4x + 6y - 6 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = -1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -4 \quad E = 6 \quad F = -6 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(-1)(1) = 4 $$

Dado que Δ > 0, la ecuación corresponde a una hipérbola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(-1)(1)(-6) - 2(-1)(6)^2 - 2(0)^2(-6) + 2(0)(-4)(6) - 2(1)(-4)^2 \\[0.5em] \delta = 88 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo hipérbola obtenida del análisis de su ecuación general. — Gráfica de la hipérbola

Clasificar la cónica cuya ecuación general es $ 5x^2+4xy+2y^2-24=0. $

Análisis de la ecuación

Clasificación: Elipse no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 24 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 5 \quad B = 4 \quad C = 2 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -24 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la cónica presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (4)^2 - 4(5)(2) = -24 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(5)(2)(-24) - 2(5)(0)^2 - 2(4)^2(-24) + 2(4)(0)(0) - 2(2)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -1152 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 5 + 2 = 7 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo elipse rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de invariantes de su ecuación general de segundo grado. — Gráfica de la elipse rotada

Dada la ecuación de segundo grado $ xy=4 $, determinar de qué tipo de cónica se trata.

Análisis de la ecuación

Clasificación: Hipérbola no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ xy - 4 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 0 \quad B = 1 \quad C = 0 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -4 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la hipérbola presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (1)^2 - 4(0)(0) = 1 $$

Dado que Δ > 0, la ecuación corresponde a una hipérbola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(0)(0)(-4) - 2(0)(0)^2 - 2(1)^2(-4) + 2(1)(0)(0) - 2(0)(0)^2 \\[0.5em] \delta = 8 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo hipérbola rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado e invariantes. — Gráfica de la hipérbola rotada

Analizar la ecuación $ x^2-2xy+y^2-8x=0 $ y hallar qué tipo de cónica representa.

Análisis de la ecuación

Clasificación: Parábola no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 - 2xy + y^2 - 8x = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = -2 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -8 \quad E = 0 \quad F = 0 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la parábola presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 0 $$

Dado que Δ = 0, la ecuación corresponde a una parábola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(0) - 2(1)(0)^2 - 2(-2)^2(0) + 2(-2)(-8)(0) - 2(1)(-8)^2 \\[0.5em] \delta = -128 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo parábola rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado e invariantes. — Gráfica de la parábola rotada

Determinar la cónica correspondiente a la ecuación general $ x^2+y^2=0 $ y si se trata de un caso degenerado o no.

Análisis de la ecuación

Clasificación: Elipse degenerada (un punto real).

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 + y^2 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = 0 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(1)(1) = -4 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(0) - 2(1)(0)^2 - 2(0)^2(0) + 2(0)(0)(0) - 2(1)(0)^2 \\[0.5em] \delta = 0 $$

Dado que δ = 0, la ecuación corresponde a un caso degenerado. En este caso, la elipse es solo un punto.

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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