Calculadora de distancia entre dos rectas

Introduce las ecuaciones de ambas rectas para obtener la distancia entre ellas, ver la resolución paso a paso y su gráfico.

Ecuación de la Recta L₁

x + y + = 0

Ecuación de la Recta L₂

x + y + = 0

Resultado

La distancia entre la recta y la recta es:

Ejemplos rápidos

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¿Qué es la distancia entre dos rectas?

La distancia entre dos rectas en el plano es la medida de su separación mínima. Cuando las rectas son secantes (se cortan en un punto) o coincidentes (son la misma recta), la distancia entre ellas es cero.

En cambio, si las rectas son paralelas y no coincidentes, la distancia entre ellas es la longitud del segmento perpendicular trazado desde cualquier punto de una recta hasta la otra recta, y es una cantidad positiva constante.

Dadas dos rectas paralelas en su forma general: L₁: Ax + By + C₁= 0 y L₂: Ax + By + C₂= 0 donde los coeficientes A y B son idénticos, la distancia entre ellas está dada por la siguiente fórmula:

$d(L_1, L_2)=\dfrac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Distancia entre dos rectas paralelas en el plano cartesiano

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Ejercicios resueltos

Calcular la distancia entre las rectas paralelas 2x + 3y - 5 = 0 y 4x + 6y + 12 = 0.

Resultado

La distancia entre la recta $ 2x+ 3y- 5 = 0 $ y la recta $ 4x+ 6y+ 12 = 0 $ es:

$$ d = \dfrac{11\sqrt{13}}{13} \approx 3.05 $$

Resolución paso a paso

1. Analizar si las rectas son paralelas.

Realizamos el cociente entre los términos lineales homólogos y determinamos si son iguales:

$$ \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \quad \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $$

$$ \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} $$

Los cocientes son iguales, por lo tanto, las rectas son paralelas.

2. Estandarizar los coeficientes lineales.

Expresamos ambas ecuaciones en forma general, en este caso ya están en esa forma:

$$ L_1: 2x+ 3y- 5 = 0 $$

$$ L_2: 4x+ 6y+ 12 = 0 $$

Multiplicamos L₂ por una constante k conveniente para que los coeficientes lineales sean iguales a L₁.

$$ k = \dfrac{1}{2} $$

$$ L_2 \xrightarrow{\times k} 2x+ 3y+ 6 = 0 $$

3. Aplicar la fórmula.

La fórmula a utilizar es:

$$ d = \dfrac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Identificamos los coeficientes y los términos independientes:

$$ A = 2, \; B = 3, \; C_1 = -5, \; C_2 = 6 $$

Reemplazamos en la fórmula y calculamos:

$$ d = \dfrac{|6 - \left(-5\right)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \dfrac{|11|}{\sqrt{4 + 9}} = \dfrac{11}{\sqrt{13}} $$

$$ d = \dfrac{11\sqrt{13}}{13} \approx 3.05 $$

Distancia entre dos rectas paralelas en el plano cartesiano, ecuaciones en forma general. — Distancia entre dos rectas

Obtener la distancia que separa a las líneas rectas y = 2x - 1 e y = 2x + 4.

Solución

La distancia entre la recta $ y = 2x - 1 $ y la recta $ y = 2x + 4 $ es:

$$ d = \sqrt{5} \approx 2.24 $$

Resolución paso a paso

1. Analizar si las rectas son paralelas.

Verificamos si las pendientes de ambas rectas son iguales:

$$ m_1 = 2, \quad m_2 = 2 $$

$$ m_1 = m_2 $$

Las pendientes son iguales, por lo tanto, las rectas son paralelas.

2. Estandarizar los coeficientes lineales.

Expresamos ambas ecuaciones en forma general:

$$ L_1: 2x- y- 1 = 0 $$

$$ L_2: 2x- y+ 4 = 0 $$

Los coeficientes lineales ya están estandarizados. Continuamos.

3. Aplicar la fórmula.

La fórmula a utilizar es:

$$ d = \dfrac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Identificamos los coeficientes y los términos independientes:

$$ A = 2, \; B = -1, \; C_1 = -1, \; C_2 = 4 $$

Reemplazamos en la fórmula y calculamos:

$$ d = \dfrac{|4 - \left(-1\right)|}{\sqrt{2^2 + \left(-1\right)^2}} = \dfrac{|5|}{\sqrt{4 + 1}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} $$

$$ d = \sqrt{5} \approx 2.24 $$

Gráfico de la distancia entre dos rectas paralelas en el plano cartesiano, ecuaciones dadas en forma general.

Determinar la distancia entre las rectas paralelas y = (1/2)x + 3 y x + 2y - 10 = 0.

Respuesta

La distancia entre la recta $ y = \dfrac{1}{2}x + 3$ y la recta $ x+ 2y- 10 = 0 $ es:

$$ d = \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1.79 $$

Resolución paso a paso

1. Analizar si las rectas son paralelas.

Convertimos la ecuación en forma explícita a su forma general:

$$ L_1: -\dfrac{1}{2}x- y+ 3 = 0 $$

$$ L_2: x+ 2y- 10 = 0 $$

Realizamos el cociente entre los términos lineales homólogos y determinamos si son iguales:

$$ \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1} = -\dfrac{1}{2} \quad \dfrac{B_1}{B_2} = -\dfrac{1}{2} $$

$$ \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} $$

Los cocientes son iguales, por lo tanto, las rectas son paralelas.

2. Estandarizar los coeficientes lineales.

Expresamos ambas ecuaciones en forma general:

$$ L_1: -\dfrac{1}{2}x- y+ 3 = 0 $$

$$ L_2: x+ 2y- 10 = 0 $$

Multiplicamos L₂ por una constante k conveniente para que los coeficientes lineales sean iguales a L₁.

$$ k = -\dfrac{1}{2} $$

$$ L_2 \xrightarrow{\times k} -\dfrac{1}{2}x- y+ 5 = 0 $$

3. Aplicar la fórmula.

La fórmula a utilizar es:

$$ d = \dfrac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Identificamos los coeficientes y los términos independientes:

$$ A = -\dfrac{1}{2}, \; B = -1, \; C_1 = 3, \; C_2 = 5 $$

Reemplazamos en la fórmula y calculamos:

$$ d = \dfrac{|5 - 3|}{\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-1\right)^2}} = \dfrac{|2|}{\sqrt{\dfrac{1}{4} + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}} $$

$$ d = \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1.79 $$

Gráfico de la distancia entre dos rectas paralelas en el plano cartesiano.

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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