Calculadora de elipses

Introduce la ecuación de la elipse o los datos conocidos para obtener sus ecuaciones (canónica y general), sus elementos (centro, focos, vértices, semiejes, lado recto, excentricidad, área, etc.) y su representación gráfica.

Centro (C)
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Centro
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Foco
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Centro
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Vértice principal
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Vértice secundario
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Foco 1
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Foco 2
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Punto
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Foco 1
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Foco 2
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Foco 1
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Foco 2
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Punto 4
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Ejemplos rápidos

Califica esta herramienta

Instrucciones de uso

Esta calculadora de elipses online es una herramienta geométrica que no solo te da la respuesta final, sino que genera la resolución paso a paso, trabaja con fracciones exactas o raíces, y grafica la curva de forma interactiva.

Utiliza el selector principal para indicarle al sistema qué datos conoces de tu problema. Los modos de cálculo admitidos son los siguientes:

  1. Ecuación de la elipse: el motor está preparado para trabajar con ecuaciones en cualquiera de sus formas. No es necesario que la formatees ni la escribas en un orden específico; puedes ingresar la ecuación general, la ecuación canónica (ordinaria), o expresiones sin simplificar y desordenadas. La calculadora se encargará de agrupar términos y completar cuadrados automáticamente.
  2. Centro y ejes (o semiejes): indica las coordenadas del centro y las longitudes asociadas a los ejes. Se permiten combinaciones de datos mixtos: eje mayor (2a) y semieje menor (b), semieje mayor (a) y eje menor (2b), o ambos semiejes. En este modo, debes indicar la orientación de la elipse (horizontal o vertical) en el selector adicional.
  3. Centro, un foco y un vértice: ingresa las coordenadas de estos tres puntos. El algoritmo detectará automáticamente la orientación de la elipse verificando si comparten la coordenada X o Y. Podrás seleccionar explícitamente si el vértice dado es un vértice principal (en el eje focal) o un covértice / vértice secundario (en el eje menor).
  4. Centro, vértice principal y covértice: al ingresar estos tres puntos, el sistema validará la perpendicularidad de los ejes, calculará las distancias ‘a’ y ‘b’ y deducirá instantáneamente hacia dónde se orienta el eje focal.
  5. Focos y un punto de la elipse: basado en la definición geométrica pura de la elipse, la calculadora sumará las distancias desde el punto P a cada uno de los focos para hallar la constante 2a (longitud del eje mayor) y construirá la ecuación.
  6. Focos y un vértice: el centro se calculará analíticamente como el punto medio de los focos. Al igual que en otros modos, puedes especificar mediante un menú desplegable si el vértice que proporciona tu ejercicio es principal o secundario.
  7. Focos y eje (o semieje): ingresa ambos focos y elige en el menú qué dato de magnitud posees: el eje mayor completo, el semieje mayor, el eje menor o el semieje menor. La herramienta utilizará la relación fundamental a2 = b2 + c2 para despejar la incógnita faltante.
  8. Cuatro puntos: una función útil para el nivel universitario. Ingresa las coordenadas de cuatro puntos no colineales por los que pasa la curva. El sistema encontrará la ecuación de la sección cónica.

Independientemente del método de entrada que utilices, el algoritmo analizará la figura geométricamente para entregarte un reporte completo que incluye: ecuación general de la elipse, ecuación canónica (u ordinaria), coordenadas del centro (h, k), coordenadas de los dos focos, vértices principales, vértices secundarios / covértices, longitud de los semiejes (a y b), semidistancia focal (c), ejes de simetría, lado recto, excentricidad, puntos de intersección con los ejes x e y, área y perímetro.

Nota: todos los campos de entrada soportan el uso de números enteros, decimales, y fracciones exactas. Las raíces irracionales se conservarán simbólicamente durante la resolución paso a paso para evitar errores de redondeo.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos completamente por la calculadora de elipses en sus diferentes modalidades.

Determinar la ecuación de la elipse con focos (18, −4) y (−6, −4), y covértices (6, 1) y (6, −9).

Ecuaciones de la elipse


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(x - 6\right)^2}{169} + \dfrac{\left(y + 4\right)^2}{25} = 1 $$

Ecuación general

$$ 25x^2 + 169y^2 - 300x + 1352y - 621 = 0 $$

Resolución paso a paso

Datos iniciales

Los datos del problema son:

  • Focos: \( (18, -4), \quad (-6, -4) \)
  • Vértice secundario (covértice): \( (6, 1) \)

1. Identificar la orientación de la elipse

Como los focos tienen la misma coordenada y, la elipse es horizontal.

2. Calcular el centro

El centro C(h, k) es el punto medio del segmento que une los dos focos:

$$ C = \left(\dfrac{18 + \left(-6\right)}{2}, \dfrac{-4 + \left(-4\right)}{2}\right) = (6, -4) $$

3. Calcular la semidistancia focal (c)

La semidistancia focal c es la mitad de la distancia entre los dos focos:

$$ c = \dfrac{|-6 - 18|}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 $$

4. Calcular el semieje menor (b)

La distancia desde el centro al vértice secundario nos da b:

$$ b = |1 - \left(-4\right)| = 5 \to b^2 = 25 $$

5. Hallar el parámetro faltante usando la relación fundamental

Conociendo b y c, calculamos el cuadrado del semieje mayor a2 usando la relación a2 = b2 + c2:

$$ a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$

6. Armar la ecuación canónica

Ya tenemos los parámetros clave de la elipse, que son las coordenadas del centro C(h, k) y los cuadrados de los semiejes:

$$ h = 6, \quad k = -4, \quad a^2 = 169, \quad b^2 = 25 $$

Los sustituimos en la forma canónica de la elipse horizontal y simplificamos si es necesario:

$$ \begin{array}{c} \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 \\[1.5em] \dfrac{(x - 6)^2}{169} + \dfrac{(y - \left(-4\right))^2}{25}=1 \\[1.5em] \dfrac{\left(x - 6\right)^2}{169} + \dfrac{\left(y + 4\right)^2}{25} = 1 \end{array} $$

Nota: se ha utilizado la herramienta en modo "focos y un vértice (principal o secundario)". Dados los focos, es necesario solo uno de los vértices secundarios (covértices) para determinar una elipse. En este caso, el problema nos da los dos covértices, podemos utilizar cualquiera de ellos.

Elementos de la elipse


Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: \( C \left(6, -4\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-6, -4\right) \\[1em] F_2 \left(18, -4\right)\end{array} $$

Vértices principales

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-7, -4\right) \\[1em] V_2 \left(19, -4\right) \end{array} $$

Vértices secundarios (covértices)

$$ \begin{array}{l} V_3 \left(6, -9\right) \\[1em] V_4 \left(6, 1\right) \end{array} $$

Semieje mayor: \( a = 13 \)

Semieje menor: \( b = 5 \)

Semidistancia focal: \( c = 12 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{50}{13} \approx 3.85 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{12}{13} \approx 0.92 \)


Ejes de simetría: \( x = 6, \quad y = -4 \)

Área: \( A = 65 \pi \approx 204.20 \)

Perímetro: \( P \approx 59.38 \)


Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = -\dfrac{9}{5} = -1.8 \\[1em] x_2 = \dfrac{69}{5} = 13.8 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = \dfrac{25\left(-\dfrac{2 \sqrt{7} \sqrt{19}}{65}-\dfrac{8}{25}\right)}{2} \approx -8.44 \\[1em] y_2 = \dfrac{25\left(\dfrac{2 \sqrt{7} \sqrt{19}}{65}-\dfrac{8}{25}\right)}{2} \approx 0.44 $$
Gráfica de una elipse horizontal centrada fuera del origen en el plano cartesiano, obtenida a partir de sus focos y un vértice secundario (covértice).
Gráfica de la elipse en el plano cartesiano
Hallar las ecuaciones y los elementos de la elipse horizontal con centro en C(2, -1), eje mayor 10 y eje menor 6.

Ecuaciones de la elipse


Ecuación canónica

$$ \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{25} + \dfrac{\left(y + 1\right)^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0 $$

Resolución paso a paso

Datos iniciales

Los datos del problema son:

  • Centro: \( (2, -1) \)
  • Eje mayor: \( 2a = 10 \to a = 5 \to a^2 = 25 \)
  • Eje menor: \( 2b = 6 \to b = 3 \to b^2 = 9 \)

1. Identificar la orientación de la elipse

El problema indica que la orientación de la elipse es horizontal.

2. Armar la ecuación canónica

Ya tenemos los parámetros clave de la elipse, que son las coordenadas del centro C(h, k) y los cuadrados de los semiejes:

$$ h = 2, \quad k = -1, \quad a^2 = 25, \quad b^2 = 9 $$

Los sustituimos en la forma canónica de la elipse horizontal y simplificamos si es necesario:

$$ \begin{array}{c} \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 \\[1.5em] \dfrac{(x - 2)^2}{25} + \dfrac{(y - \left(-1\right))^2}{9}=1 \\[1.5em] \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{25} + \dfrac{\left(y + 1\right)^2}{9} = 1 \end{array} $$

Elementos


Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: \( C \left(2, -1\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(-2, -1\right) \\ \\ F_2 \left(6, -1\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(-3, -1\right) \\ \\ V_2 \left(7, -1\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(2, -4\right) \\ \\ V_4 \left(2, 2\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 5 \)

Semieje menor: \( b = 3 \)

Semidistancia focal: \( c = 4 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{18}{5} = 3.6 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{4}{5} = 0.8 \)


Ejes de simetría: \( x = 2, \quad y = -1 \)

Área: \( A = 15 \pi \approx 47.12 \)

Perímetro: \( P \approx 25.53 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = \dfrac{25\left(-\dfrac{4 \sqrt{2}}{15}+\dfrac{4}{25}\right)}{2} \approx -2.71 \\ \\ x_2 = \dfrac{25\left(\dfrac{4 \sqrt{2}}{15}+\dfrac{4}{25}\right)}{2} \approx 6.71 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = \dfrac{9\left(-\dfrac{2 \sqrt{7}}{5 \sqrt{3}}-\dfrac{2}{9}\right)}{2} \approx -3.75 \\ \\ y_2 = \dfrac{9\left(\dfrac{2 \sqrt{7}}{5 \sqrt{3}}-\dfrac{2}{9}\right)}{2} \approx 1.75 \)
Gráfica de una elipse horizontal centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 4.
Gráfica de la elipse en el plano cartesiano
Calcular las ecuaciones (ordinaria y general) y elementos de la elipse con focos en (±3, 0) y punto (0, 4).

Ecuaciones


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 16x^2 + 25y^2 - 400 = 0 $$

Resolución paso a paso

Datos iniciales

Los datos del problema son:

  • Focos: \( (-3, 0), \quad (3, 0) \)
  • Punto: \( (0, 4) \)

1. Identificar la orientación de la elipse

Como los focos tienen la misma coordenada y, la elipse es horizontal.

2. Calcular el centro

El centro C(h, k) es el punto medio del segmento que une los dos focos:

$$ C = \left(\dfrac{-3 + 3}{2}, \dfrac{0 + 0}{2}\right) = (0, 0) $$

3. Calcular la semidistancia focal (c)

La semidistancia focal c es la mitad de la distancia entre los dos focos:

$$ c = \dfrac{|3 - \left(-3\right)|}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 $$

4. Calcular el semieje mayor (a)

La suma de las distancias desde el punto P a los dos focos es siempre igual a 2a:

$$ 2a = d(P, F_1) + d(P, F_2) \to a = 5 \to a^2 = 25 $$

5. Hallar el parámetro faltante usando la relación fundamental

Conociendo a y c, calculamos el cuadrado del semieje menor b2 usando la relación b2 = a2 - c2:

$$ b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 $$

6. Armar la ecuación canónica

Ya tenemos los parámetros clave de la elipse, que son las coordenadas del centro C(h, k) y los cuadrados de los semiejes:

$$ h = 0, \quad k = 0, \quad a^2 = 25, \quad b^2 = 16 $$

Los sustituimos en la forma canónica de la elipse horizontal y simplificamos si es necesario:

$$ \begin{array}{c} \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 \\[1.5em] \dfrac{(x - 0)^2}{25} + \dfrac{(y - 0)^2}{16}=1 \\[1.5em] \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 \end{array} $$

Elementos


Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(-3, 0\right) \\ \\ F_2 \left(3, 0\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(-5, 0\right) \\ \\ V_2 \left(5, 0\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(0, -4\right) \\ \\ V_4 \left(0, 4\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 5 \)

Semieje menor: \( b = 4 \)

Semidistancia focal: \( c = 3 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{32}{5} = 6.4 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{3}{5} = 0.6 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)

Área: \( A = 20 \pi \approx 62.83 \)

Perímetro: \( P \approx 28.36 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = -5 \\ \\ x_2 = 5 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = -4 \\ \\ y_2 = 4 \)
Gráfico de una elipse horizontal centrada en el origen en el plano cartesiano, ejemplo 5.
Gráfica de la elipse
Determinar las ecuaciones y elementos de la elipse con focos en (1, -2) y (1, 4), y vértice en (1, 6).

Ecuaciones de la elipse


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(x - 1\right)^2}{16} + \dfrac{\left(y - 1\right)^2}{25} = 1 $$

Ecuación general

$$ 25x^2 + 16y^2 - 50x - 32y - 359 = 0 $$

Resolución paso a paso

Datos iniciales

Los datos del problema son:

  • Focos: \( (1, -2), \quad (1, 4) \)
  • Vértice principal: \( (1, 6) \)

1. Identificar la orientación de la elipse

Como los focos tienen la misma coordenada x, la elipse es vertical.

2. Calcular el centro

El centro C(h, k) es el punto medio del segmento que une los dos focos:

$$ C = \left(\dfrac{1 + 1}{2}, \dfrac{-2 + 4}{2}\right) = (1, 1) $$

3. Calcular la semidistancia focal (c)

La semidistancia focal c es la mitad de la distancia entre los dos focos:

$$ c = \dfrac{|4 - \left(-2\right)|}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 $$

4. Calcular el semieje mayor (a)

La distancia desde el centro al vértice principal nos da a:

$$ a = |6 - 1| = 5 \to a^2 = 25 $$

5. Hallar el parámetro faltante usando la relación fundamental

Conociendo a y c, calculamos el cuadrado del semieje menor b2 usando la relación b2 = a2 - c2:

$$ b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 $$

6. Armar la ecuación canónica

Ya tenemos los parámetros clave de la elipse, que son las coordenadas del centro C(h, k) y los cuadrados de los semiejes:

$$ h = 1, \quad k = 1, \quad a^2 = 25, \quad b^2 = 16 $$

Los sustituimos en la forma canónica de la elipse vertical y simplificamos si es necesario:

$$ \begin{array}{c} \dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1 \\[1.5em] \dfrac{\left(x - 1\right)^2}{16} + \dfrac{\left(y - 1\right)^2}{25} = 1 \end{array} $$

Elementos de la elipse


Orientación: Vertical (eje mayor paralelo al eje Y).

Centro: \( C \left(1, 1\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(1, -2\right) \\ \\ F_2 \left(1, 4\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(1, -4\right) \\ \\ V_2 \left(1, 6\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(-3, 1\right) \\ \\ V_4 \left(5, 1\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 5 \)

Semieje menor: \( b = 4 \)

Semidistancia focal: \( c = 3 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{32}{5} = 6.4 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{3}{5} = 0.6 \)


Ejes de simetría: \( x = 1, \quad y = 1 \)

Área: \( A = 20 \pi \approx 62.83 \)

Perímetro: \( P \approx 28.36 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = 8\left(-\dfrac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{5}+\dfrac{1}{8}\right) \approx -2.92 \\ \\ x_2 = 8\left(\dfrac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{5}+\dfrac{1}{8}\right) \approx 4.92 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = \dfrac{25\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}}+\dfrac{2}{25}\right)}{2} \approx -3.84 \\ \\ y_2 = \dfrac{25\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}}+\dfrac{2}{25}\right)}{2} \approx 5.84 \)
Gráfico de una elipse vertical centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 6.
Gráfico de la elipse
Determinar la ecuación general y los elementos de la elipse \( \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1. \)

Ecuaciones de la elipse


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 25y^2 - 225 = 0 $$

Elementos de la elipse


Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(-4, 0\right) \\ \\ F_2 \left(4, 0\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(-5, 0\right) \\ \\ V_2 \left(5, 0\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(0, -3\right) \\ \\ V_4 \left(0, 3\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 5 \)

Semieje menor: \( b = 3 \)

Semidistancia focal: \( c = 4 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{18}{5} = 3.6 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{4}{5} = 0.8 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)

Área: \( A = 15 \pi \approx 47.12 \)

Perímetro: \( P \approx 25.53 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = -5 \\ \\ x_2 = 5 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = -3 \\ \\ y_2 = 3 \)
Gráfico de una elipse horizontal centrada en el origen en el plano cartesiano, ejemplo 1.
Gráfica de la elipse
Calcular los elementos de la elipse con centro fuera del origen \( \dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1. \)

Ecuaciones


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(x + 3\right)^2}{16} + \dfrac{\left(y - 4\right)^2}{36} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 4y^2 + 54x - 32y + 1 = 0 $$

Elementos de la elipse


Orientación: Vertical (eje mayor paralelo al eje Y).

Centro: \( C \left(-3, 4\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(-3, -2 \sqrt{5}+4\right) \approx \left(-3, -0.47\right) \\ \\ F_2 \left(-3, 2 \sqrt{5}+4\right) \approx \left(-3, 8.47\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(-3, -2\right) \\ \\ V_2 \left(-3, 10\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(-7, 4\right) \\ \\ V_4 \left(1, 4\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 6 \)

Semieje menor: \( b = 4 \)

Semidistancia focal: \( c = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 \)

Longitud del lado recto: \( L_R = \dfrac{16}{3} \approx 5.33 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75 \)


Ejes de simetría: \( x = -3, \quad y = 4 \)

Área de la elipse: \( A = 24 \pi \approx 75.40 \)

Perímetro: \( P \approx 31.73 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = 8\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3}{8}\right) \approx -5.98 \\ \\ x_2 = 8\left(\dfrac{\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3}{8}\right) \approx -0.02 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = 18\left(-\dfrac{\sqrt{7}}{12}+\dfrac{2}{9}\right) \approx 0.03 \\ \\ y_2 = 18\left(\dfrac{\sqrt{7}}{12}+\dfrac{2}{9}\right) \approx 7.97 \)
Gráfico de una elipse vertical centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 2.
Gráfica de la curva
Obtener los elementos y la ecuación ordinaria de la elipse \( 4x^2+9y^2-16x-32=0. \)

Ecuaciones de la elipse


Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{12} + \dfrac{y^2}{16/3} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 + 9y^2 - 16x - 32 = 0 $$

Elementos


Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: \( C \left(2, 0\right) \)

Focos

\( \begin{array}{l} F_1 \left(-\dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}+2, 0\right) \approx \left(-0.58, 0\right) \\ \\ F_2 \left(\dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}+2, 0\right) \approx \left(4.58, 0\right)\end{array} \)

Vértices principales

\( \begin{array}{l} V_1 \left(-2 \sqrt{3}+2, 0\right) \approx \left(-1.46, 0\right) \\ \\ V_2 \left(2 \sqrt{3}+2, 0\right) \approx \left(5.46, 0\right) \end{array} \)

Vértices secundarios (covértices)

\( \begin{array}{l} V_3 \left(2, -\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx \left(2, -2.31\right) \\ \\ V_4 \left(2, \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx \left(2, 2.31\right) \end{array} \)

Semieje mayor: \( a = 2 \sqrt{3} \approx 3.46 \)

Semieje menor: \( b = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \)

Semidistancia focal: \( c = \dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \approx 2.58 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{16}{3 \sqrt{3}} \approx 3.08 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75 \)


Ejes de simetría: \( x = 2, \quad y = 0 \)

Área: \( A = 8 \pi \approx 25.13 \)

Perímetro: \( P \approx 18.32 \)


Intersecciones con el eje x

\( x_1 = \dfrac{-16 \sqrt{3}+16}{8} \approx -1.46 \\ \\ x_2 = \dfrac{16 \sqrt{3}+16}{8} \approx 5.46 \)

Intersecciones con el eje y

\( y_1 = -\dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \approx -1.89 \\ \\ y_2 = \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \approx 1.89 \)
Gráfico de una elipse horizontal centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 3.
Gráfico de la elipse en el plano

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 4 semanas)