Calculadora de elipses

Introduce la ecuación de la elipse o los datos conocidos para obtener sus ecuaciones (canónica y general), sus elementos (centro, focos, vértices, semiejes, lado recto, excentricidad, área, etc.) y su representación gráfica.

¿Qué datos conoces?

Centro (C)

(

)

Eje mayor (2a)

Eje menor (2b)

Foco 1

(

)

Foco 2

(

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Punto

(

)

Foco 1

(

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Foco 2

(

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Vértice principal

(

)

Foco 1

(

)

Foco 2

(

)

Eje mayor (2a)

Foco 1

(

)

Foco 2

(

)

Eje menor (2b)

Punto 1

(

)

Punto 2

(

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Punto 3

(

)

Punto 4

(

)

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Determinar la ecuación general y los elementos de la elipse $ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1. $

Ecuaciones de la elipse

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 25y^2 - 225 = 0 $$

Elementos de la elipse

Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(-4, 0\right) \\ \\ F_2 \left(4, 0\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(-5, 0\right) \\ \\ V_2 \left(5, 0\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(0, -3\right) \\ \\ V_4 \left(0, 3\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 5 $

Semieje menor: $ b = 3 $

Semidistancia focal: $ c = 4 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{18}{5} = 3.6 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{4}{5} = 0.8 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Área: $ A = 15 \pi \approx 47.12 $

Perímetro: $ P \approx 25.53 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = -5 \\ \\ x_2 = 5 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = -3 \\ \\ y_2 = 3 $

Gráfico de una elipse horizontal centrada en el origen en el plano cartesiano, ejemplo 1. — Gráfica de la elipse

Calcular los elementos de la elipse con centro fuera del origen $ \dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1. $

Ecuaciones

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(x + 3\right)^2}{16} + \dfrac{\left(y - 4\right)^2}{36} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 4y^2 + 54x - 32y + 1 = 0 $$

Elementos de la elipse

Orientación: Vertical (eje mayor paralelo al eje Y).

Centro: $ C \left(-3, 4\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(-3, -2 \sqrt{5}+4\right) \approx \left(-3, -0.47\right) \\ \\ F_2 \left(-3, 2 \sqrt{5}+4\right) \approx \left(-3, 8.47\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(-3, -2\right) \\ \\ V_2 \left(-3, 10\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(-7, 4\right) \\ \\ V_4 \left(1, 4\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 6 $

Semieje menor: $ b = 4 $

Semidistancia focal: $ c = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $

Longitud del lado recto: $ L_R = \dfrac{16}{3} \approx 5.33 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75 $

Ejes de simetría: $ x = -3, \quad y = 4 $

Área de la elipse: $ A = 24 \pi \approx 75.40 $

Perímetro: $ P \approx 31.73 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = 8\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3}{8}\right) \approx -5.98 \\ \\ x_2 = 8\left(\dfrac{\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3}{8}\right) \approx -0.02 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = 18\left(-\dfrac{\sqrt{7}}{12}+\dfrac{2}{9}\right) \approx 0.03 \\ \\ y_2 = 18\left(\dfrac{\sqrt{7}}{12}+\dfrac{2}{9}\right) \approx 7.97 $

Gráfico de una elipse vertical centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 2. — Gráfica de la curva

Obtener los elementos y la ecuación ordinaria de la elipse $ 4x^2+9y^2-16x-32=0. $

Ecuaciones de la elipse

Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{12} + \dfrac{y^2}{16/3} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 + 9y^2 - 16x - 32 = 0 $$

Elementos

Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: $ C \left(2, 0\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(-\dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}+2, 0\right) \approx \left(-0.58, 0\right) \\ \\ F_2 \left(\dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}+2, 0\right) \approx \left(4.58, 0\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(-2 \sqrt{3}+2, 0\right) \approx \left(-1.46, 0\right) \\ \\ V_2 \left(2 \sqrt{3}+2, 0\right) \approx \left(5.46, 0\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(2, -\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx \left(2, -2.31\right) \\ \\ V_4 \left(2, \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx \left(2, 2.31\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 2 \sqrt{3} \approx 3.46 $

Semieje menor: $ b = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 $

Semidistancia focal: $ c = \dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \approx 2.58 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{16}{3 \sqrt{3}} \approx 3.08 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75 $

Ejes de simetría: $ x = 2, \quad y = 0 $

Área: $ A = 8 \pi \approx 25.13 $

Perímetro: $ P \approx 18.32 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = \dfrac{-16 \sqrt{3}+16}{8} \approx -1.46 \\ \\ x_2 = \dfrac{16 \sqrt{3}+16}{8} \approx 5.46 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = -\dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \approx -1.89 \\ \\ y_2 = \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \approx 1.89 $

Gráfico de una elipse horizontal centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 3. — Gráfico de la elipse en el plano

Hallar las ecuaciones y los elementos de la elipse con centro en C(2, -1), eje mayor 10 y eje menor 6.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación canónica

$$ \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{25} + \dfrac{\left(y + 1\right)^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0 $$

Elementos

Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: $ C \left(2, -1\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(-2, -1\right) \\ \\ F_2 \left(6, -1\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(-3, -1\right) \\ \\ V_2 \left(7, -1\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(2, -4\right) \\ \\ V_4 \left(2, 2\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 5 $

Semieje menor: $ b = 3 $

Semidistancia focal: $ c = 4 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{18}{5} = 3.6 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{4}{5} = 0.8 $

Ejes de simetría: $ x = 2, \quad y = -1 $

Área: $ A = 15 \pi \approx 47.12 $

Perímetro: $ P \approx 25.53 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = \dfrac{25\left(-\dfrac{4 \sqrt{2}}{15}+\dfrac{4}{25}\right)}{2} \approx -2.71 \\ \\ x_2 = \dfrac{25\left(\dfrac{4 \sqrt{2}}{15}+\dfrac{4}{25}\right)}{2} \approx 6.71 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = \dfrac{9\left(-\dfrac{2 \sqrt{7}}{5 \sqrt{3}}-\dfrac{2}{9}\right)}{2} \approx -3.75 \\ \\ y_2 = \dfrac{9\left(\dfrac{2 \sqrt{7}}{5 \sqrt{3}}-\dfrac{2}{9}\right)}{2} \approx 1.75 $

Gráfica de una elipse horizontal centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 4. — Gráfica de la elipse en el plano cartesiano

Calcular las ecuaciones (ordinaria y general) y elementos de la elipse con focos en (±3, 0) y punto (0, 4).

Ecuaciones

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 16x^2 + 25y^2 - 400 = 0 $$

Elementos

Orientación: Horizontal (eje mayor paralelo al eje X).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(-3, 0\right) \\ \\ F_2 \left(3, 0\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(-5, 0\right) \\ \\ V_2 \left(5, 0\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(0, -4\right) \\ \\ V_4 \left(0, 4\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 5 $

Semieje menor: $ b = 4 $

Semidistancia focal: $ c = 3 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{32}{5} = 6.4 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{3}{5} = 0.6 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Área: $ A = 20 \pi \approx 62.83 $

Perímetro: $ P \approx 28.36 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = -5 \\ \\ x_2 = 5 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = -4 \\ \\ y_2 = 4 $

Gráfico de una elipse horizontal centrada en el origen en el plano cartesiano, ejemplo 5. — Gráfica de la elipse

Determinar las ecuaciones y elementos de la elipse con focos en (1, -2) y (1, 4), y vértice en (1, 6).

Ecuaciones de la elipse

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(x - 1\right)^2}{16} + \dfrac{\left(y - 1\right)^2}{25} = 1 $$

Ecuación general

$$ 25x^2 + 16y^2 - 50x - 32y - 359 = 0 $$

Elementos de la elipse

Orientación: Vertical (eje mayor paralelo al eje Y).

Centro: $ C \left(1, 1\right) $

Focos

$ \begin{array}{l} F_1 \left(1, -2\right) \\ \\ F_2 \left(1, 4\right)\end{array} $

Vértices principales

$ \begin{array}{l} V_1 \left(1, -4\right) \\ \\ V_2 \left(1, 6\right) \end{array} $

Vértices secundarios (covértices)

$ \begin{array}{l} V_3 \left(-3, 1\right) \\ \\ V_4 \left(5, 1\right) \end{array} $

Semieje mayor: $ a = 5 $

Semieje menor: $ b = 4 $

Semidistancia focal: $ c = 3 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{32}{5} = 6.4 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{3}{5} = 0.6 $

Ejes de simetría: $ x = 1, \quad y = 1 $

Área: $ A = 20 \pi \approx 62.83 $

Perímetro: $ P \approx 28.36 $

Intersecciones con el eje x

$ x_1 = 8\left(-\dfrac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{5}+\dfrac{1}{8}\right) \approx -2.92 \\ \\ x_2 = 8\left(\dfrac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{5}+\dfrac{1}{8}\right) \approx 4.92 $

Intersecciones con el eje y

$ y_1 = \dfrac{25\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}}+\dfrac{2}{25}\right)}{2} \approx -3.84 \\ \\ y_2 = \dfrac{25\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}}+\dfrac{2}{25}\right)}{2} \approx 5.84 $

Gráfico de una elipse vertical centrada fuera del origen en el plano cartesiano, ejemplo 6. — Gráfico de la elipse

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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