Calculadora de la forma canónica de una parábola

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de la ecuación canónica de una parábola es una herramienta matemática diseñada para procesar y transformar cualquier expresión de segundo grado. El motor analiza tu entrada, devuelve las propiedades geométricas principales y genera el procedimiento paso a paso junto con su representación gráfica.

Al hablar de forma canónica (también conocida como forma ordinaria o de vértice) nos referimos a la estructura y = a(x - h)² + k para parábolas verticales (como funciones cuadráticas), o x = a(y - k)² + h para parábolas horizontales. En esta disposición, los valores (h, k) revelan directamente las coordenadas del vértice de la curva.

Cómo ingresar tu ecuación:

• Libertad de formato: escribe la ecuación en el campo disponible, puedes ingresarla en su forma estándar o polinómica (por ejemplo, y = 2x² - 12x + 13), en forma factorizada, implícita (igualada a cero), o totalmente desordenada.
• Notación funcional y horizontal: el sistema reconoce automáticamente la notación de funciones (como f(x), g(x)) y las trata de la misma manera. Si trabajas con parábolas que abren hacia la derecha o izquierda, simplemente ingresa tu ecuación en términos de x (por ejemplo, x = y² + 6y - 7).
• Soporte numérico: el algoritmo admite coeficientes enteros, números decimales, fracciones exactas y raíces irracionales. Estos valores se mantendrán de forma simbólica a lo largo del cálculo para evitar los errores de redondeo temprano.

Una vez procesada la expresión, el sistema generará un reporte algebraico detallado con la forma canónica, la forma estándar y las coordenadas del vértice, además del procedimiento paso a paso que consiste en:

1. Normalización e identificación: si la ecuación no está en forma estándar (y = ax² + bx + c), el sistema realizará las operaciones necesarias para reducirla y poder extraer los coeficientes a, b y c.
2. Cálculo analítico del vértice: utilizando los coeficientes extraídos, la herramienta aplicará las fórmulas correspondientes para hallar las coordenadas del vértice paso a paso.
3. Construcción canónica: finalmente, el sistema ensamblará la ecuación sustituyendo el coeficiente principal y las coordenadas del vértice en la estructura final.

Ejercicios resueltos

Calcular la forma canónica de la parábola \(y = x^2 - 4x + 3.\)

Resultado

Ecuación en forma canónica

$$ y = \left(x - 2\right)^2 - 1 $$

Ecuación en forma estándar

$$ y = x^{2}-4 x+3 $$

Coordenadas del vértice

$$ V\left(2, -1\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus coeficientes.

La ecuación a trabajar es:

$$ y = x^{2}-4 x+3 $$

Extraemos sus coeficientes comparando con la forma y = ax² + bx + c:

$$ a = 1 \quad b = -4 \quad c = 3 $$

2. Calcular las coordenadas del vértice.

Utilizamos los coeficientes para hallar el vértice V(h, k). Primero, calculamos la coordenada h:

$$ h = \dfrac{-b}{2a} \\[1em] h = \dfrac{-\left(-4\right)}{2\left(1\right)} \\[1em] h = 2 $$

Luego, evaluamos la función en h para obtener la coordenada k:

$$ k = \left(2\right)^2 - 4\left(2\right) + 3 \\[1em] k = -1 $$

Por lo tanto, el vértice se encuentra en:

$$ V\left(2, -1\right) $$

3. Formar la ecuación canónica.

Reemplazamos los valores obtenidos para el vértice y el coeficiente a en la estructura de la forma canónica:

$$ y = a(x - h)^2 + k $$

$$ y = \left(x - 2\right)^2 - 1 $$

Encontrar la ecuación canónica de la parábola \(y = -3x^2 + 6x.\)

Resultado

Ecuación en forma canónica

$$ y = -3\left(x - 1\right)^2 + 3 $$

Ecuación en forma estándar

$$ y = -3 x^{2}+6 x $$

Coordenadas del vértice

$$ V\left(1, 3\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus coeficientes.

La ecuación a trabajar es:

$$ y = -3 x^{2}+6 x $$

Extraemos sus coeficientes comparando con la forma y = ax² + bx + c:

$$ a = -3 \quad b = 6 \quad c = 0 $$

2. Calcular las coordenadas del vértice.

Utilizamos los coeficientes para hallar el vértice V(h, k). Primero, calculamos la coordenada h:

$$ h = \dfrac{-b}{2a} \\[1em] h = \dfrac{-6}{2\left(-3\right)} \\[1em] h = 1 $$

Luego, evaluamos la función en h para obtener la coordenada k:

$$ k = -3\left(1\right)^2 + 6\left(1\right) \\[1em] k = 3 $$

Por lo tanto, el vértice se encuentra en:

$$ V\left(1, 3\right) $$

3. Formar la ecuación canónica.

Reemplazamos los valores obtenidos para el vértice y el coeficiente a en la estructura de la forma canónica:

$$ y = a(x - h)^2 + k $$

$$ y = -3\left(x - 1\right)^2 + 3 $$

Determinar la ecuación en forma canónica (o de vértice) de la parábola \(y = \dfrac{1}{2}(x + 4)(x - 2).\)

Resultado

Ecuación en forma canónica

$$ y = \dfrac{1}{2}\left(x + 1\right)^2 - \dfrac{9}{2} $$

Ecuación en forma estándar

$$ y = \dfrac{x^{2}}{2}+x-4 $$

Coordenadas del vértice

$$ V\left(-1, -\dfrac{9}{2}\right) = \left(-1, -4.5\right) $$

Resolución paso a paso

1. Normalizar la ecuación y extraer sus coeficientes.

La ecuación a trabajar es:

$$ y = \dfrac{\left(x+4\right) \left(x-2\right)}{2} $$

Llevamos la ecuación a su forma estándar (polinómica) desarrollando las operaciones algebraicas correspondientes:

$$ y = \dfrac{x^{2}}{2}+x-4 $$

Extraemos sus coeficientes comparando con la forma y = ax² + bx + c:

$$ a = \dfrac{1}{2} \quad b = 1 \quad c = -4 $$

2. Calcular las coordenadas del vértice.

Utilizamos los coeficientes para hallar el vértice V(h, k). Primero, calculamos la coordenada h:

$$ h = \dfrac{-b}{2a} \\[1em] h = \dfrac{-1}{2\left(\dfrac{1}{2}\right)} \\[1em] h = -1 $$

Luego, evaluamos la función en h para obtener la coordenada k:

$$ k = \dfrac{1}{2}\left(-1\right)^2 + 1\left(-1\right) - 4 \\[1em] k = -\dfrac{9}{2} $$

Por lo tanto, el vértice se encuentra en:

$$ V\left(-1, -\dfrac{9}{2}\right) = \left(-1, -4.5\right) $$

3. Formar la ecuación canónica.

Reemplazamos los valores obtenidos para el vértice y el coeficiente a en la estructura de la forma canónica:

$$ y = a(x - h)^2 + k $$

$$ y = \dfrac{1}{2}\left(x + 1\right)^2 - \dfrac{9}{2} $$

Hallar la forma canónica de la función cuadrática \(f(x) = -2x^2 -5x - 1\)

Resultado

Ecuación en forma canónica

$$ y = -2\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 + \dfrac{17}{8} $$

Ecuación en forma estándar

$$ y = -2 x^{2}-5 x-1 $$

Coordenadas del vértice

$$ V\left(-\dfrac{5}{4}, \dfrac{17}{8}\right) = \left(-1.25, 2.125\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus coeficientes.

La ecuación a trabajar es:

$$ f(x) = -2 x^{2}-5 x-1 $$

Extraemos sus coeficientes comparando con la forma y = ax² + bx + c:

$$ a = -2 \quad b = -5 \quad c = -1 $$

2. Calcular las coordenadas del vértice.

Utilizamos los coeficientes para hallar el vértice V(h, k). Primero, calculamos la coordenada h:

$$ h = \dfrac{-b}{2a} \\[1em] h = \dfrac{-\left(-5\right)}{2\left(-2\right)} \\[1em] h = -\dfrac{5}{4} $$

Luego, evaluamos la función en h para obtener la coordenada k:

$$ k = -2\left(-\dfrac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\dfrac{5}{4}\right) - 1 \\[1em] k = \dfrac{17}{8} $$

Por lo tanto, el vértice se encuentra en:

$$ V\left(-\dfrac{5}{4}, \dfrac{17}{8}\right) = \left(-1.25, 2.125\right) $$

3. Formar la ecuación canónica.

Reemplazamos los valores obtenidos para el vértice y el coeficiente a en la estructura de la forma canónica:

$$ y = a(x - h)^2 + k $$

$$ y = -2\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^2 + \dfrac{17}{8} $$

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