Calculadora de producto punto de vectores

Introduce las componentes de los vectores para calcular su producto punto o escalar (a · b) y ver la resolución paso a paso.

Vector a
⟨ , ⟩
Vector b
⟨ , ⟩

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de producto punto es una herramienta matemática diseñada para evaluar rápidamente el producto escalar (también conocido como producto interno) entre dos vectores. Funciona para resolver esta forma de multiplicación de vectores tanto en el plano (R2) como en el espacio tridimensional (R3). Al tratarse de una operación directa, el sistema te entregará el valor numérico exacto acompañado de su desarrollo algebraico.

Cómo ingresar tus datos:

  • Selecciona la dimensión: utiliza el selector principal para indicarle al motor si vas a operar con vectores bidimensionales (R2) o tridimensionales (R3).
  • Introduce las componentes: para este tipo de cálculo, la entrada de datos se realiza mediante las componentes rectangulares de cada vector (x, y para el plano; x, y, z para el espacio).
  • Formatos admitidos: los campos de texto soportan el uso de números enteros, valores decimales, fracciones exactas e irracionales.

Lectura de resultados:

Una vez procesados los valores, la herramienta estructura la respuesta en dos bloques fundamentales:

  1. Respuesta rápida (valor escalar): en el recuadro superior destacado visualizarás el resultado final de tu operación. Es importante recordar que, por definición matemática, el producto interno de dos vectores no genera un nuevo vector, sino que devuelve una única magnitud numérica (un escalar).
  2. Resolución paso a paso: en la parte inferior se desplegará el procedimiento detallado. Podrás observar cómo el algoritmo multiplica secuencialmente las componentes homólogas de ambos vectores. Finalmente, te mostrará la suma algebraica de estos subproductos para llegar a la respuesta, aplicando la fórmula a · b = axbx + ayby + azbz.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular el producto punto entre los vectores \(\vec{a}=\langle 4, 3 \rangle\) y \(\vec{b}=\langle 2, 5 \rangle.\)

Resultado

El producto punto entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = 23 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 4, 3 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 2, 5 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores en dos dimensiones se obtiene multiplicando sus componentes homólogas y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $$

En nuestro caso:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \langle 4, 3 \rangle \cdot \langle 2, 5 \rangle \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (3)(5) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 8 + 15 \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 23 $$
Determinar el resultado del producto escalar entre \(\langle -2, -6 \rangle\) y \(\langle -3, 4 \rangle.\)

Resultado

El producto escalar entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = -18 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -2, -6 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -3, 4 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores en dos dimensiones se obtiene multiplicando sus componentes homólogas y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $$

En nuestro caso:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \langle -2, -6 \rangle \cdot \langle -3, 4 \rangle \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(-3) + (-6)(4) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 24 \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = -18 $$
Hallar el resultado de la multiplicación de vectores \(\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\rangle \cdot \langle 4, -2\rangle.\)

Resultado

El producto punto entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 4, -2 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores en dos dimensiones se obtiene multiplicando sus componentes homólogas y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $$

En nuestro caso:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right\rangle \cdot \langle 4, -2 \rangle \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = \left(\frac{1}{2}\right)(4) + \left(\frac{3}{4}\right)(-2) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - \frac{3}{2} \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} = 0.5 $$
Encontrar el producto escalar entre los vectores de tres dimensiones \(\vec{a}=\langle -4, 0, 2\rangle\) y \(\vec{b}=\langle 3, -1, -5\rangle.\)

Resultado

El producto escalar entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = -22 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -4, 0, 2 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 3, -1, -5 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores en tres dimensiones se obtiene multiplicando sus componentes homólogas y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

En nuestro caso:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \langle -4, 0, 2 \rangle \cdot \langle 3, -1, -5 \rangle \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(3) + (0)(-1) + (2)(-5) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = -12 + 0 - 10 \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = -22 $$
Calcular el resultado de la multiplicación \(\langle 3, -2, 1 \rangle\cdot \langle 4, 5, -2 \rangle.\)

Resultado

El producto punto entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 3, -2, 1 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 4, 5, -2 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores en tres dimensiones se obtiene multiplicando sus componentes homólogas y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

En nuestro caso:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \langle 3, -2, 1 \rangle \cdot \langle 4, 5, -2 \rangle \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(4) + (-2)(5) + (1)(-2) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 - 10 - 2 \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 semanas)