Calculadora de ecuaciones cúbicas

Introduce una ecuación polinómica de tercer grado para obtener todas sus soluciones (reales y complejas), la resolución paso a paso y el gráfico cartesiano.

Ejemplos Rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de ecuaciones cúbicas es una herramienta algebraica diseñada para hallar todas las soluciones o raíces de cualquier ecuación de tercer grado. Además de proporcionar la respuesta exacta, el motor matemático genera la resolución paso a paso y traza el gráfico de la curva para una comprobación visual.

Cómo ingresar tu ecuación:

Utiliza el único campo de entrada para escribir tu expresión matemática. El sistema es flexible e interpretará tu problema sin requerir un formato estricto:

  • Puedes escribir la ecuación en su forma estándar igualada a cero (por ejemplo: x3 - 4x2 + x + 6 = 0).
  • Puedes ingresarla desordenada o con términos en ambos lados de la igualdad (por ejemplo: x3 - 5x = 2x2). La herramienta agrupará y simplificará los términos automáticamente.
  • Si solo introduces un polinomio sin el signo igual, el algoritmo asumirá por defecto que deseas encontrar sus raíces y lo igualará a cero internamente.

Una vez procesada la entrada, la calculadora analizará los coeficientes (a, b, c, d) para determinar el camino más eficiente y te mostrará el procedimiento bajo uno de los siguientes métodos:

  1. Factorización por factor común: si la ecuación carece de término independiente, el sistema extraerá la variable de menor exponente, reduciendo el problema a la resolución de una ecuación cuadrática o lineal.
  2. Factorización por agrupación: si los coeficientes son proporcionales, el algoritmo agrupará los términos convenientemente para extraer binomios comunes y despejar las soluciones de forma directa.
  3. Teorema de Gauss (raíces racionales): para la mayoría de los polinomios completos, la herramienta aplicará el teorema de las raíces racionales. Buscará los divisores del término independiente y del coeficiente principal hasta hallar la primera raíz. Posteriormente, dividirá el polinomio reduciendo su grado para encontrar el resto de los valores.

Al concluir el desarrollo analítico, obtendrás un reporte claro con las tres soluciones de la ecuación, ya sean raíces reales puras o raíces complejas (conjugadas) si el problema lo requiere. El sistema trabajará siempre con fracciones exactas y raíces de forma simbólica para preservar la precisión.

Como último paso, la herramienta generará el gráfico interactivo del polinomio en el plano cartesiano, se resaltarán los puntos donde la curva corta el eje horizontal, permitiéndote comprobar los resultados obtenidos.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones de tercer grado resueltas por la calculadora.

Calcular las soluciones de la ecuación cúbica \( x^3-5x^2+6x=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 0 \\[1.5em] x_{2} = 2 \\[1.5em] x_{3} = 3 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ x\left(x-2\right)\left(x-3\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ x^{3}-5 x^{2}+6 x = 0 $$

2. Extraer factor común.

Dado que la ecuación no posee término independiente, extraemos la variable de menor grado como factor común para reescribir la expresión:

$$ x\left(x^{2}-5 x+6\right) = 0 $$

3. Despejar la primera raíz.

Al tener un producto igualado a cero, igualamos el primer factor a cero para obtener una raíz:

$$ x = 0 $$

4. Resolver la ecuación cuadrática resultante.

Igualamos a cero el factor cuadrático restante:

$$ x^{2}-5 x+6 = 0 $$

Resolviendo la ecuación cuadrática (por ejemplo, con la fórmula general) podemos hallar las demás raíces:

$$ x = 2 \\[1em] x = 3 $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio cúbico y sus raíces: tres reales. Ejemplo 1.
Gráfico del polinomio cúbico
Determinar las raíces del polinomio de tercer grado \( 2x^3+4x^2-16x. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 0 \\[1.5em] x_{2} = 2 \\[1.5em] x_{3} = -4 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ 2x\left(x-2\right)\left(x+4\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ 2 x^{3}+4 x^{2}-16 x = 0 $$

2. Extraer factor común.

Dado que la ecuación no posee término independiente, extraemos la variable de menor grado como factor común para reescribir la expresión:

$$ x\left(2 x^{2}+4 x-16\right) = 0 $$

3. Despejar la primera raíz.

Al tener un producto igualado a cero, igualamos el primer factor a cero para obtener una raíz:

$$ x = 0 $$

4. Resolver la ecuación cuadrática resultante.

Igualamos a cero el factor cuadrático restante:

$$ 2 x^{2}+4 x-16 = 0 $$

Resolviendo la ecuación cuadrática (por ejemplo, con la fórmula general) podemos hallar las demás raíces:

$$ x = 2 \\[1em] x = -4 $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio de tercer grado y sus raíces: tres reales. Ejemplo 2.
Gráfico del polinomio
Encontrar todos los valores que satisfacen la ecuación de grado tres \( 2x^3+3x^2-8x-12=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = -2 \\[1.5em] x_{2} = 2 \\[1.5em] x_{3} = -\dfrac{3}{2} = -1.5 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ 2\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ 2 x^{3}+3 x^{2}-8 x-12 = 0 $$

2. Agrupar los términos.

Agrupamos los términos de la ecuación en pares de manera conveniente para poder extraer un factor común en cada grupo:

$$ \left(2 x^{3}+3 x^{2}\right) - \left(8 x+12\right) = 0 $$

3. Extraer factor común en cada grupo.

Extraemos el factor común correspondiente dentro de cada uno de los paréntesis formados:

$$ x^2\left(2 x+3\right) - 4\left(2 x+3\right) = 0 $$

4. Extraer el binomio como factor común.

Al quedar un binomio que se repite en ambos términos, lo extraemos como un nuevo factor común para factorizar completamente la expresión:

$$ \left(2 x+3\right)\left(x^{2}-4\right) = 0 $$

5. Despejar las raíces.

Igualamos cada uno de los factores a cero y resolvemos para encontrar todas las raíces de la ecuación:

$$ \begin{array}{l} 2 x+3 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} = -1.5 \\[1.2em] x^{2}-4 = 0 \quad \rightarrow \quad \begin{cases} x = 2 \\[0.5em] x = -2 \end{cases} \end{array} $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio de tercer grado y sus raíces: tres reales. Ejemplo 3.
Gráfica del polinomio cúbico
Calcular las soluciones reales y complejas de la ecuación cúbica \( x^3+x^2+x+1=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = -1 \\[1.5em] x_{2} = i \\[1.5em] x_{3} = -i \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \left(x+1\right)\left(x^{2}+1\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ x^{3}+x^{2}+x+1 = 0 $$

2. Agrupar los términos.

Agrupamos los términos de la ecuación en pares de manera conveniente para poder extraer un factor común en cada grupo:

$$ \left(x^{3}+x^{2}\right) + \left(x+1\right) = 0 $$

3. Extraer factor común en cada grupo.

Extraemos el factor común correspondiente dentro de cada uno de los paréntesis formados:

$$ x^2\left(x+1\right) + \left(x+1\right) = 0 $$

4. Extraer el binomio como factor común.

Al quedar un binomio que se repite en ambos términos, lo extraemos como un nuevo factor común para factorizar completamente la expresión:

$$ \left(x+1\right)\left(x^{2}+1\right) = 0 $$

5. Despejar las raíces.

Igualamos cada uno de los factores a cero y resolvemos para encontrar todas las raíces de la ecuación:

$$ \begin{array}{l} x+1 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -1 \\[1.2em] x^{2}+1 = 0 \quad \rightarrow \quad \begin{cases} x = i \\[0.5em] x = -i \end{cases} \end{array} $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio de grado tres y su raíz real. Ejemplo 4.
Gráfico del polinomio de tercer grado
Calcular las soluciones de la ecuación de tercer grado \( x^3-6x^2+11x-6=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 1 \\[1.5em] x_{2} = 2 \\[1.5em] x_{3} = 3 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 = 0 $$

2. Buscar una raíz racional.

Aplicamos el teorema de Gauss evaluando posibles raíces a partir de los divisores del término independiente y el coeficiente principal, hasta encontrar un valor que anule la ecuación. Esta será nuestra primera raíz:

$$ x = 1 $$

3. Dividir el polinomio.

Dividimos el polinomio original entre el binomio formado por la variable y la raíz encontrada, (x - r). Utilizamos este paso para reducir el grado de la ecuación a una forma cuadrática:

$$ \dfrac{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6}{x-1} $$

El cociente resultante es:

$$ x^{2}-5 x+6 = 0 $$

Es decir, la ecuación cúbica puede escribirse como:

$$ \left(x-1\right)\left(x^{2}-5 x+6\right) = 0 $$

4. Resolver la ecuación cuadrática resultante.

Igualamos a cero el factor cuadrático restante:

$$ x^{2}-5 x+6 = 0 $$

Resolviendo la ecuación cuadrática (por ejemplo, con la fórmula general) podemos hallar las demás raíces:

$$ x = 2 \\[1em] x = 3 $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio cúbico y sus tres raíces reales. Ejemplo 5.
Gráfico del polinomio cúbico
Determinar los valores de la incógnita para la ecuación cúbica \( x^3-3x+1=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 2 \cos\left(40^\circ\right) \approx 1.53 \\[1.5em] x_{2} = 2 \cos\left(280^\circ\right) \approx 0.35 \\[1.5em] x_{3} = 2 \cos\left(160^\circ\right) \approx -1.88 \end{array} $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio cúbico (caso irreducible) y sus tres raíces reales irracionales. Ejemplo 6.
Gráfico del polinomio de grado tres
Encontrar las soluciones algebraicas de la ecuación de grado tres con coeficientes fraccionarios \( \dfrac{1}{2}x^3-x^2-\dfrac{1}{2}x+1=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 1 \\[1.5em] x_{2} = -1 \\[1.5em] x_{3} = 2 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \dfrac{1}{2}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ \dfrac{x^{3}}{2}-x^{2}-\dfrac{x}{2}+1 = 0 $$

2. Agrupar los términos.

Agrupamos los términos de la ecuación en pares de manera conveniente para poder extraer un factor común en cada grupo:

$$ \left(\dfrac{x^{3}}{2}-x^{2}\right) - \left(\dfrac{x}{2}-1\right) = 0 $$

3. Extraer factor común en cada grupo.

Extraemos el factor común correspondiente dentro de cada uno de los paréntesis formados:

$$ x^2\left(\dfrac{x}{2}-1\right) - \left(\dfrac{x}{2}-1\right) = 0 $$

4. Extraer el binomio como factor común.

Al quedar un binomio que se repite en ambos términos, lo extraemos como un nuevo factor común para factorizar completamente la expresión:

$$ \left(\dfrac{x}{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right) = 0 $$

5. Despejar las raíces.

Igualamos cada uno de los factores a cero y resolvemos para encontrar todas las raíces de la ecuación:

$$ \begin{array}{l} \dfrac{x}{2}-1 = 0 \quad \rightarrow \quad x = 2 \\[1.2em] x^{2}-1 = 0 \quad \rightarrow \quad \begin{cases} x = 1 \\[0.5em] x = -1 \end{cases} \end{array} $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio de 3er grado y sus tres raíces reales enteras. Ejemplo 7.
Gráfico del polinomio en el plano
Calcular las soluciones reales e imaginarias de la ecuación cúbica \( x^3-\sqrt{3}x^2+2x-2\sqrt{3}=0. \)

Resultado

Las soluciones de la ecuación cúbica son:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{3} \approx 1.73 \\[1.5em] x_{2} = \sqrt{2}i \approx 1.41i \\[1.5em] x_{3} = -\sqrt{2}i \approx -1.41i \end{array} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver es:

$$ -\sqrt{3} x^{2}+x^{3}+2 x-2 \sqrt{3} = 0 $$

2. Agrupar los términos.

Agrupamos los términos de la ecuación en pares de manera conveniente para poder extraer un factor común en cada grupo:

$$ \left(-\sqrt{3} x^{2}+x^{3}\right) + \left(-2 \sqrt{3}+2 x\right) = 0 $$

3. Extraer factor común en cada grupo.

Extraemos el factor común correspondiente dentro de cada uno de los paréntesis formados:

$$ x^2\left(-\sqrt{3}+x\right) + 2\left(-\sqrt{3}+x\right) = 0 $$

4. Extraer el binomio como factor común.

Al quedar un binomio que se repite en ambos términos, lo extraemos como un nuevo factor común para factorizar completamente la expresión:

$$ \left(-\sqrt{3}+x\right)\left(x^{2}+2\right) = 0 $$

5. Despejar las raíces.

Igualamos cada uno de los factores a cero y resolvemos para encontrar todas las raíces de la ecuación:

$$ \begin{array}{l} -\sqrt{3}+x = 0 \quad \rightarrow \quad x = \sqrt{3} \approx 1.73 \\[1.2em] x^{2}+2 = 0 \quad \rightarrow \quad \begin{cases} x = \sqrt{2}i \approx 1.41i \\[0.5em] x = -\sqrt{2}i \approx -1.41i \end{cases} \end{array} $$
Gráfico en el plano cartesiano de un polinomio de 3er grado y su raíz real irracional. Ejemplo 8.
Gráfico del polinomio

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 3 días)