Calculadora de la pendiente de una recta

Introduce las coordenadas de dos puntos para obtener información sobre la recta que pasa por ellos (ecuaciones, ordenada al origen, ángulo de inclinación, etc.), la resolución paso a paso y el gráfico.

Punto 1

( , )

Punto 2

( , )

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Calcular la pendiente y elementos de la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (4, 7).

Resultado

La recta que pasa por los puntos dados tiene las siguientes características, ecuaciones y elementos.

Pendiente: $ m = \dfrac{2}{3} \approx 0.67 $

Ecuación explícita: $ y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{13}{3} $

Ecuación punto-pendiente: $ y - 3 = \dfrac{2}{3}\left(x + 2\right) $

Ecuación general: $ 2x - 3y + 13 = 0 $

Ordenada al origen: $ b = \dfrac{13}{3} \approx 4.33 $

Ángulo de inclinación: $ \theta \approx 33.69^\circ $

Variación vertical: $ \Delta y = 4 $

Variación horizontal: $ \Delta x = 6 $

Distancia al origen: $ d \approx 3.61 $

Pendiente en porcentaje: $ m_{\%} \approx 66.67\% $

Resolución paso a paso

1. Calcular la pendiente (m).

Utilizamos la fórmula de la pendiente dados dos puntos en el plano, que es la división entre la variación vertical (Δy) y la variación horizontal (Δx):

$$ m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Sustituimos las coordenadas de $ P_1(-2, 3) $, $ P_2(4, 7) $:

$$ m = \dfrac{7 - 3}{4 - \left(-2\right)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $$

2. Calcular el ángulo de inclinación (θ).

El ángulo de inclinación se obtiene aplicando la función arcotangente a la pendiente calculada:

$$ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 33.69^\circ $$

3. Hallar la ordenada al origen (b) y las ecuaciones de la recta.

Partimos de la ecuación punto-pendiente utilizando las coordenadas de P₁ (el resultado sería el mismo usando P₂):

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

$$ y - 3 = \dfrac{2}{3}\left(x - \left(-2\right)\right) $$

$$ y - 3 = \dfrac{2}{3}\left(x + 2\right) $$

Despejamos la variable 'y' y desarrollamos para obtener la ecuación en su forma explícita (y = mx + b):

$$ y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{13}{3} $$

De esta ecuación extraemos que la ordenada al origen es $ b = \dfrac{13}{3} $.

Partiendo de la ecuación explícita reordenamos los términos para igualar a cero en la forma general Ax + By + C = 0:

$$ 2x - 3y + 13 = 0 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una recta con pendiente positiva obtenida a partir de dos puntos. — Gráfico de la recta

Encontrar la pendiente de la línea recta donde (1, 5) y (6, -2) son dos puntos de ella.

Respuesta

Pendiente: $ m = -\dfrac{7}{5} = -1.4 $

Ecuación explícita: $ y = -\dfrac{7}{5}x + \dfrac{32}{5} $

Ecuación punto-pendiente: $ y - 5 = -\dfrac{7}{5}\left(x - 1\right) $

Ecuación general: $ 7x + 5y - 32 = 0 $

Ordenada al origen: $ b = \dfrac{32}{5} = 6.4 $

Ángulo de inclinación: $ \theta \approx 125.54^\circ $

Variación vertical: $ \Delta y = -7 $

Variación horizontal: $ \Delta x = 5 $

Distancia al origen: $ d \approx 3.72 $

Pendiente en porcentaje: $ m_{\%} \approx -140\% $

Resolución paso a paso

1. Calcular la pendiente (m).

Utilizamos la fórmula de la pendiente dados dos puntos en el plano, que es la división entre la variación vertical (Δy) y la variación horizontal (Δx):

$$ m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Sustituimos las coordenadas de $ P_1(1, 5) $, $ P_2(6, -2) $:

$$ m = \dfrac{-2 - 5}{6 - 1} = \dfrac{-7}{5} = -\dfrac{7}{5} $$

2. Calcular el ángulo de inclinación (θ).

El ángulo de inclinación se obtiene aplicando la función arcotangente a la pendiente calculada:

$$ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(-\dfrac{7}{5}\right) \approx -54.46^\circ $$

Como la pendiente es negativa, la función arcotangente nos devuelve un ángulo negativo (medido en sentido horario). Por convención geométrica, el ángulo de inclinación de una recta siempre se expresa como un valor positivo entre 0° y 180°.

Para obtener el ángulo de inclinación estándar, sumamos 180° al arcotangente:

$$ \theta = \arctan\left(-\dfrac{7}{5}\right) + 180^\circ \approx 125.54^\circ $$

3. Hallar la ordenada al origen (b) y las ecuaciones de la recta.

Partimos de la ecuación punto-pendiente utilizando las coordenadas de P₁ (el resultado sería el mismo usando P₂):

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

$$ y - 5 = -\dfrac{7}{5}\left(x - 1\right) $$

Despejamos la variable 'y' y desarrollamos para obtener la ecuación en su forma explícita (y = mx + b):

$$ y = -\dfrac{7}{5}x + \dfrac{32}{5} $$

De esta ecuación extraemos que la ordenada al origen es $ b = \dfrac{32}{5} $.

Partiendo de la ecuación explícita reordenamos los términos para igualar a cero en la forma general Ax + By + C = 0:

$$ 7x + 5y - 32 = 0 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una recta con pendiente negativa obtenida a partir de dos puntos. — Gráfica de la recta

Determinar la pendiente de la recta dados los puntos (-2, -2) y (3, 2).

Solución

Pendiente: $ m = \dfrac{4}{5} = 0.8 $

Ecuación explícita: $ y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{2}{5} $

Ecuación punto-pendiente: $ y + 2 = \dfrac{4}{5}\left(x + 2\right) $

Ecuación general: $ 4x - 5y - 2 = 0 $

Ordenada al origen: $ b = -\dfrac{2}{5} = -0.4 $

Ángulo de inclinación: $ \theta \approx 38.66^\circ $

Variación vertical: $ \Delta y = 4 $

Variación horizontal: $ \Delta x = 5 $

Distancia al origen: $ d \approx 0.31 $

Pendiente en porcentaje: $ m_{\%} \approx 80\% $

Resolución paso a paso

1. Calcular la pendiente (m).

Utilizamos la fórmula de la pendiente dados dos puntos en el plano, que es la división entre la variación vertical (Δy) y la variación horizontal (Δx):

$$ m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Sustituimos las coordenadas de $ P_1(-2, -2) $, $ P_2(3, 2) $:

$$ m = \dfrac{2 - \left(-2\right)}{3 - \left(-2\right)} = \dfrac{4}{5} $$

2. Calcular el ángulo de inclinación (θ).

El ángulo de inclinación se obtiene aplicando la función arcotangente a la pendiente calculada:

$$ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(\dfrac{4}{5}\right) \approx 38.66^\circ $$

3. Hallar la ordenada al origen (b) y las ecuaciones de la recta.

Partimos de la ecuación punto-pendiente utilizando las coordenadas de P₁ (el resultado sería el mismo usando P₂):

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

$$ y - \left(-2\right) = \dfrac{4}{5}\left(x - \left(-2\right)\right) $$

$$ y + 2 = \dfrac{4}{5}\left(x + 2\right) $$

Despejamos la variable 'y' y desarrollamos para obtener la ecuación en su forma explícita (y = mx + b):

$$ y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{2}{5} $$

De esta ecuación extraemos que la ordenada al origen es $ b = -\dfrac{2}{5} $.

Partiendo de la ecuación explícita reordenamos los términos para igualar a cero en la forma general Ax + By + C = 0:

$$ 4x - 5y - 2 = 0 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una recta con pendiente positiva obtenida a partir de dos puntos con coordenadas enteras. — Gráfico de la recta en el plano

Obtener los elementos de la línea recta que contiene a los puntos (-1/2, 3/4) y (5/2, -1/4).

Resultado

Pendiente: $ m = -\dfrac{1}{3} \approx -0.33 $

Ecuación explícita: $ y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{12} $

Ecuación punto-pendiente: $ y - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) $

Ecuación general: $ 4x + 12y - 7 = 0 $

Ordenada al origen: $ b = \dfrac{7}{12} \approx 0.58 $

Ángulo de inclinación: $ \theta \approx 161.57^\circ $

Variación vertical: $ \Delta y = -1 $

Variación horizontal: $ \Delta x = 3 $

Distancia al origen: $ d \approx 0.55 $

Pendiente en porcentaje: $ m_{\%} \approx -33.33\% $

Resolución paso a paso

1. Calcular la pendiente (m).

Utilizamos la fórmula de la pendiente dados dos puntos en el plano, que es la división entre la variación vertical (Δy) y la variación horizontal (Δx):

$$ m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Sustituimos las coordenadas de $ P_1(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}) $, $ P_2(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{4}) $:

$$ m = \dfrac{-\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{2} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3} $$

2. Calcular el ángulo de inclinación (θ).

El ángulo de inclinación se obtiene aplicando la función arcotangente a la pendiente calculada:

$$ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(-\dfrac{1}{3}\right) \approx -18.43^\circ $$

$$ \theta = \arctan\left(-\dfrac{1}{3}\right) + 180^\circ \approx 161.57^\circ $$

3. Hallar la ordenada al origen (b) y las ecuaciones de la recta.

Partimos de la ecuación punto-pendiente utilizando las coordenadas de P₁ (el resultado sería el mismo usando P₂):

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

$$ y - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{3}\left(x - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) $$

$$ y - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{3}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) $$

Despejamos la variable 'y' y desarrollamos para obtener la ecuación en su forma explícita (y = mx + b):

$$ y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{12} $$

De esta ecuación extraemos que la ordenada al origen es $ b = \dfrac{7}{12} $.

Partiendo de la ecuación explícita reordenamos los términos para igualar a cero en la forma general Ax + By + C = 0:

$$ 4x + 12y - 7 = 0 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una recta con pendiente negativa obtenida a partir de dos puntos con coordenadas fraccionarias. — Gráfica de la recta en el plano

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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