Calculadora de la circunferencia que pasa por tres puntos

Introduce las coordenadas de los tres puntos para obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos (canónica y general), centro, radio y la resolución paso a paso con gráfica.

Punto 1
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Punto 2
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Punto 3
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Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Obtener la ecuación, centro y radio de la circunferencia dados los 3 puntos (5, 3), (-2, 2) y (2, -6).

Respuesta


Ecuación en forma canónica

$$ \left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 = 25 $$

Ecuación en forma general

$$ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 $$

Centro: \( C (2, -1) \)

Radio: \( r = 5 \)

Resolución paso a paso

1. Plantear el sistema de ecuaciones.

La ecuación general de la circunferencia es:

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Evaluamos cada punto \( (x, y) \) dado en la ecuación:

\( P_{1}\left(5, 3\right): 5^2 + 3^2 + 5D + 3E + F = 0 \)
\( P_{2}\left(-2, 2\right): \left(-2\right)^2 + 2^2 - 2D + 2E + F = 0 \)
\( P_{3}\left(2, -6\right): 2^2 + \left(-6\right)^2 + 2D - 6E + F = 0 \)

Simplificando y reordenando, obtenemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones:

$$ \begin{cases} 5D + 3E + F = -34 \\ - 2D + 2E + F = -8 \\ 2D - 6E + F = -40 \end{cases} $$

2. Resolver el sistema lineal (Regla de Cramer).

Calculamos el determinante principal (\( \Delta \)) de los coeficientes:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} = 60 $$

Calculamos los determinantes para cada variable reemplazando la columna correspondiente por los términos independientes (-34, -8, -40):

$$ \Delta D = \begin{vmatrix} -34 & 3 & 1 \\ -8 & 2 & 1 \\ -40 & -6 & 1 \end{vmatrix} = -240 \\[1em] \Delta E = \begin{vmatrix} 5 & -34 & 1 \\ -2 & -8 & 1 \\ 2 & -40 & 1 \end{vmatrix} = 120 \\[1em] \Delta F = \begin{vmatrix} 5 & 3 & -34 \\ -2 & 2 & -8 \\ 2 & -6 & -40 \end{vmatrix} = -1200 $$

Dividimos cada determinante por \( \Delta \) para obtener los coeficientes:

$$ D = \dfrac{\Delta D}{\Delta} = \dfrac{-240}{60} = -4 \\[1em] E = \dfrac{\Delta E}{\Delta} = \dfrac{120}{60} = 2 \\[1em] F = \dfrac{\Delta F}{\Delta} = \dfrac{-1200}{60} = -20 $$

3. Determinar la ecuación general, el centro y el radio.

Reemplazamos los coeficientes hallados en la forma general:

$$ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 $$

Calculamos el centro \( C(h, k) \) dividiendo -D y -E entre 2:

$$ h = \dfrac{-(-4)}{2} = 2 \\[0.5em] k = \dfrac{-2}{2} = -1 $$

El centro es \( C (2, -1) \).

Con el centro y el valor de F, aplicamos la fórmula \( r = \sqrt{h^2 + k^2 - F} \):

$$ r = \sqrt{4 + 1 - (-20)} = \sqrt{25} $$

Por lo tanto, el radio es \( r = 5 \).

Con estos datos podemos formar la ecuación canónica de la circunferencia:

$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
$$ \left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 = 25 $$
Gráfico en el plano cartesiano de una circunferencia obtenida a partir de tres puntos con su ecuación canónica. Ejemplo 2.
Gráfico de la circunferencia
Determinar las ecuaciones general y canónica de la circunferencia dados tres puntos de ella: (0, 0), (3, 6) y (7, 0).

Solución


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = \dfrac{65}{4} $$

Ecuación general

$$ x^2 + y^2 - 7x - 4y = 0 $$

Centro: \( C \left(\dfrac{7}{2}, 2\right) = (3.5, 2) \)

Radio: \( r = \dfrac{\sqrt{5} \sqrt{13}}{2} \approx 4.03 \)

Resolución paso a paso

1. Plantear el sistema de ecuaciones.

La ecuación general de la circunferencia es:

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Evaluamos cada punto \( (x, y) \) dado en la ecuación:

\( P_{1}\left(0, 0\right): 0^2 + 0^2 + F = 0 \)
\( P_{2}\left(3, 6\right): 3^2 + 6^2 + 3D + 6E + F = 0 \)
\( P_{3}\left(7, 0\right): 7^2 + 0^2 + 7D + F = 0 \)

Simplificando y reordenando, obtenemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones:

$$ \begin{cases} F = 0 \\ 3D + 6E + F = -45 \\ 7D + F = -49 \end{cases} $$

2. Resolver el sistema lineal (Regla de Cramer).

Calculamos el determinante principal (\( \Delta \)) de los coeficientes:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 7 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -42 $$

Calculamos los determinantes para cada variable reemplazando la columna correspondiente por los términos independientes (0, -45, -49):

$$ \Delta D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -45 & 6 & 1 \\ -49 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 294 \\[1em] \Delta E = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & -45 & 1 \\ 7 & -49 & 1 \end{vmatrix} = 168 \\[1em] \Delta F = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & -45 \\ 7 & 0 & -49 \end{vmatrix} = 0 $$

Dividimos cada determinante por \( \Delta \) para obtener los coeficientes:

$$ D = \dfrac{\Delta D}{\Delta} = \dfrac{294}{-42} = -7 \\[1em] E = \dfrac{\Delta E}{\Delta} = \dfrac{168}{-42} = -4 \\[1em] F = \dfrac{\Delta F}{\Delta} = \dfrac{0}{-42} = 0 $$

3. Determinar la ecuación general, el centro y el radio.

Reemplazamos los coeficientes hallados en la forma general:

$$ x^2 + y^2 - 7x - 4y = 0 $$

Calculamos el centro \( C(h, k) \) dividiendo -D y -E entre 2:

$$ h = \dfrac{-(-7)}{2} = \dfrac{7}{2} \\[0.5em] k = \dfrac{-(-4)}{2} = 2 $$

El centro es \( C \left(\dfrac{7}{2}, 2\right) = (3.5, 2) \).

Con el centro y el valor de F, aplicamos la fórmula \( r = \sqrt{h^2 + k^2 - F} \):

$$ r = \sqrt{\dfrac{49}{4} + 4 - 0} = \sqrt{\dfrac{65}{4}} $$

Por lo tanto, el radio es \( r = \dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}}{2} \approx 4.03 \).

Con estos datos podemos formar la ecuación canónica de la circunferencia:

$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
$$ \left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = \dfrac{65}{4} $$
Gráfico en el plano cartesiano de una circunferencia obtenida a partir de tres puntos con su ecuación canónica. Ejemplo 3.
Gráfica de la circunferencia en el plano
Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos (0, 5) (5, 0) y (-5, 0).

Resultados


Ecuación canónica

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Ecuación general

$$ x^2 + y^2 - 25 = 0 $$

Centro: \( C (0, 0) \)

Radio: \( r = 5 \)

Resolución paso a paso

1. Plantear el sistema de ecuaciones.

La ecuación general de la circunferencia es:

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Evaluamos cada punto \( (x, y) \) dado en la ecuación:

\( P_{1}\left(5, 0\right): 5^2 + 0^2 + 5D + F = 0 \)
\( P_{2}\left(0, 5\right): 0^2 + 5^2 + 5E + F = 0 \)
\( P_{3}\left(-5, 0\right): \left(-5\right)^2 + 0^2 - 5D + F = 0 \)

Simplificando y reordenando, obtenemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones:

$$ \begin{cases} 5D + F = -25 \\ 5E + F = -25 \\ - 5D + F = -25 \end{cases} $$

2. Resolver el sistema lineal (Regla de Cramer).

Calculamos el determinante principal (\( \Delta \)) de los coeficientes:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 50 $$

Calculamos los determinantes para cada variable reemplazando la columna correspondiente por los términos independientes (-25, -25, -25):

$$ \Delta D = \begin{vmatrix} -25 & 0 & 1 \\ -25 & 5 & 1 \\ -25 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \\[1em] \Delta E = \begin{vmatrix} 5 & -25 & 1 \\ 0 & -25 & 1 \\ -5 & -25 & 1 \end{vmatrix} = 0 \\[1em] \Delta F = \begin{vmatrix} 5 & 0 & -25 \\ 0 & 5 & -25 \\ -5 & 0 & -25 \end{vmatrix} = -1250 $$

Dividimos cada determinante por \( \Delta \) para obtener los coeficientes:

$$ D = \dfrac{\Delta D}{\Delta} = \dfrac{0}{50} = 0 \\[1em] E = \dfrac{\Delta E}{\Delta} = \dfrac{0}{50} = 0 \\[1em] F = \dfrac{\Delta F}{\Delta} = \dfrac{-1250}{50} = -25 $$

3. Determinar la ecuación general, el centro y el radio.

Reemplazamos los coeficientes hallados en la forma general:

$$ x^2 + y^2 - 25 = 0 $$

Calculamos el centro \( C(h, k) \) dividiendo -D y -E entre 2:

$$ h = \dfrac{-0}{2} = 0 \\[0.5em] k = \dfrac{-0}{2} = 0 $$

El centro es \( C (0, 0) \).

Con el centro y el valor de F, aplicamos la fórmula \( r = \sqrt{h^2 + k^2 - F} \):

$$ r = \sqrt{0 + 0 - (-25)} = \sqrt{25} $$

Por lo tanto, el radio es \( r = 5 \).

Con estos datos podemos formar la ecuación canónica de la circunferencia:

$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
$$ x^2 + y^2 = 25 $$
Gráfico en el plano cartesiano de una circunferencia obtenida a partir de tres puntos con su ecuación canónica. Ejemplo 1.
Gráfica de la circunferencia

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 4 semanas)