Calculadora del determinante de una matriz

Introduce los elementos de la matriz cuadrada (2x2 hasta 6x6) para calcular su determinante paso a paso.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online del determinante de una matriz es una herramienta de álgebra lineal diseñada para evaluar matrices cuadradas desde una dimensión de 2x2 hasta 6x6. Además de proporcionarte el valor numérico, el motor matemático genera la resolución detallada paso a paso para facilitarte la comprensión del procedimiento analítico.

Cómo ingresar tus datos:

  1. Selecciona el tamaño de la matriz: utiliza el menú de configuración inicial para definir la dimensión de la matriz cuadrada con la que deseas trabajar (2x2, 3x3, 4x4, 5x5 o 6x6).
  2. Introduce los elementos: completa cada una de las celdas de la cuadrícula con tus datos. El sistema admite números enteros, decimales y fracciones exactas. Te recomendamos ingresar los valores tal cual aparecen en tu problema para evitar errores de redondeo durante el cálculo.

Una vez que ejecutes el cálculo, la herramienta estructurará los resultados en dos bloques principales:

1. Respuesta rápida
En un primer bloque destacado encontrarás de inmediato el valor final del determinante (denotado como |A|). Esta sección es ideal si solo necesitas verificar la solución de tus ejercicios.

2. Resolución paso a paso
Para las dimensiones más estudiadas matemáticamente (2x2, 3x3 y 4x4), la herramienta desplegará todo el método algebraico utilizado para llegar a la respuesta. El algoritmo adapta su estrategia según el tamaño de la matriz:

  • Matrices 2x2: el sistema te mostrará la regla fundamental, realizando la diferencia matemática de las multiplicaciones cruzadas de las diagonales (a11 · a22 - a12 · a21).
  • Matrices 3x3: el cálculo se desarrollará aplicando el método de cofactores (también conocido como expansión de Laplace), tomando como referencia los elementos de la primera fila de la matriz, multiplicando cada uno por su determinante 2x2 correspondiente y alternando los signos analíticamente.
  • Matrices 4x4: al igual que en el nivel anterior, el algoritmo expande el determinante respecto a la primera fila. Sin embargo, para evitar saturar la vista con cálculos excesivamente largos, el sistema calcula y muestra el desarrollo de los menores complementarios (submatrices de 3x3) en bloques separados y de forma organizada.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Ejercicio 1

Calcular el determinante de la siguiente matriz 3x3:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\[0.5em] 0 & 4 & -2 \\[0.5em] 1 & 5 & 1 \end{bmatrix} $$

Resultado

El determinante de la matriz dada es:

$$ \displaystyle |A| = 18 $$

Resolución paso a paso

Para calcular el determinante de una matriz 3x3, desarrollamos por la primera fila. Multiplicamos cada elemento por su respectivo determinante 2x2, alternando los signos (positivo, negativo, positivo).

$$ \displaystyle |A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\[0.5em] 0 & 4 & -2 \\[0.5em] 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (2) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[0.5em] 5 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 0 & -2 \\[0.5em] 1 & 1 \end{vmatrix} + (3) \begin{vmatrix} 0 & 4 \\[0.5em] 1 & 5 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (2) \left[ (4)(1) - (-2)(5) \right] - (-1) \left[ (0)(1) - (-2)(1) \right] + (3) \left[ (0)(5) - (4)(1) \right] \\[0.8em] = (2) \left[ 4 - (-10) \right] - (-1) \left[ 0 - (-2) \right] + (3) \left[ 0 - (4) \right] \\[0.8em] = (2) (14) - (-1) (2) + (3) (-4) \\[0.8em] = (28) - (-2) + (-12) \\[0.8em] = 28 + 2 - 12 \\[0.8em] = 18 $$
Ejercicio 2

Hallar el determinante de la siguiente matriz 2x2:

$$\displaystyle A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\[0.5em] -2 & 5 \end{bmatrix}$$

Resultado

El determinante de la matriz dada es:

$$ \displaystyle |A| = 23 $$

Resolución paso a paso

El determinante de una matriz 2x2 se calcula haciendo el producto de los elementos en la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.

$$ \displaystyle |A| = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\[0.5em] -2 & 5 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3)(5) - (4)(-2) \\[0.8em] = 15 - (-8) \\[0.8em] = 15 + 8 \\[0.8em] = 23 $$
Ejercicio 3

Obtener el determinante de la siguiente matriz:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\[0.5em] -3 & 4 \end{bmatrix} $$

Resultado

El determinante de la matriz dada es:

$$ \displaystyle |A| = 4 $$

Resolución paso a paso

El determinante de una matriz 2x2 se calcula haciendo el producto de los elementos en la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria.

$$ \displaystyle |A| = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\[0.5em] -3 & 4 \end{vmatrix} \\[0.8em] = \left(\frac{1}{2}\right)(4) - \left(\frac{2}{3}\right)(-3) \\[0.8em] = 2 - (-2) \\[0.8em] = 2 + 2 \\[0.8em] = 4 $$
Ejercicio 4

Encontrar el determinante de la siguiente matriz 3x3:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Resultado

El determinante de la matriz dada es:

$$ \displaystyle |A| = 0 $$

Resolución paso a paso

Para calcular el determinante de una matriz 3x3, desarrollamos por la primera fila. Multiplicamos cada elemento por su respectivo determinante 2x2, alternando los signos (positivo, negativo, positivo).

$$ \displaystyle |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) \begin{vmatrix} 5 & 6 \\[0.5em] 8 & 9 \end{vmatrix} - (2) \begin{vmatrix} 4 & 6 \\[0.5em] 7 & 9 \end{vmatrix} + (3) \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[0.5em] 7 & 8 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) \left[ (5)(9) - (6)(8) \right] - (2) \left[ (4)(9) - (6)(7) \right] + (3) \left[ (4)(8) - (5)(7) \right] \\[0.8em] = (1) \left[ 45 - (48) \right] - (2) \left[ 36 - (42) \right] + (3) \left[ 32 - (35) \right] \\[0.8em] = (1) (-3) - (2) (-6) + (3) (-3) \\[0.8em] = (-3) - (-12) + (-9) \\[0.8em] = -3 + 12 - 9 \\[0.8em] = 0 $$
Ejercicio 5

Resolver el determinante de la siguiente matriz 4x4:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\[0.5em] 3 & 1 & 0 & 2 \\[0.5em] -2 & 0 & 1 & 1 \\[0.5em] 4 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} $$

Resultado

El determinante de la matriz dada es:

$$ \displaystyle |A| = 34 $$

Resolución paso a paso

Para calcular el determinante de una matriz 4x4, desarrollamos por la primera fila usando sus menores complementarios (M) y alternando los signos.

$$ \displaystyle |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\[0.5em] 3 & 1 & 0 & 2 \\[0.5em] -2 & 0 & 1 & 1 \\[0.5em] 4 & -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) M_{11} - (0) M_{12} + (2) M_{13} - (-1) M_{14} \\[0.8em] = (1) M_{11} + (2) M_{13} - (-1) M_{14} \\[0.8em] = (1) (-1) + (2) (11) - (-1) (13) \\[0.8em] = (-1) + (22) - (-13) \\[0.8em] = -1 + 22 + 13 \\[0.8em] = 34 $$
Ver cálculo del menor M11
$$ \displaystyle M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 \\[0.5em] -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] 3 & 0 \end{vmatrix} - (0) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 0 \end{vmatrix} + (2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 3 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] 3 & 0 \end{vmatrix} + (2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 3 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (1) \left[ (1)(0) - (1)(3) \right] + (2) \left[ (0)(3) - (1)(-1) \right] \\[0.8em] = (1) \left[ 0 - (3) \right] + (2) \left[ 0 - (-1) \right] \\[0.8em] = (1) (-3) + (2) (1) \\[0.8em] = (-3) + (2) \\[0.8em] = -3 + 2 \\[0.8em] = -1 $$
Ver cálculo del menor M13
$$ \displaystyle M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[0.5em] -2 & 0 & 1 \\[0.5em] 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 0 \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[0.5em] 4 & 0 \end{vmatrix} + (2) \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[0.5em] 4 & -1 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3) \left[ (0)(0) - (1)(-1) \right] - (1) \left[ (-2)(0) - (1)(4) \right] + (2) \left[ (-2)(-1) - (0)(4) \right] \\[0.8em] = (3) \left[ 0 - (-1) \right] - (1) \left[ 0 - (4) \right] + (2) \left[ 2 - (0) \right] \\[0.8em] = (3) (1) - (1) (-4) + (2) (2) \\[0.8em] = (3) - (-4) + (4) \\[0.8em] = 3 + 4 + 4 \\[0.8em] = 11 $$
Ver cálculo del menor M14
$$ \displaystyle M_{14} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\[0.5em] -2 & 0 & 1 \\[0.5em] 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 3 \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[0.5em] 4 & 3 \end{vmatrix} + (0) \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[0.5em] 4 & -1 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[0.5em] -1 & 3 \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[0.5em] 4 & 3 \end{vmatrix} \\[0.8em] = (3) \left[ (0)(3) - (1)(-1) \right] - (1) \left[ (-2)(3) - (1)(4) \right] \\[0.8em] = (3) \left[ 0 - (-1) \right] - (1) \left[ -6 - (4) \right] \\[0.8em] = (3) (1) - (1) (-10) \\[0.8em] = (3) - (-10) \\[0.8em] = 3 + 10 \\[0.8em] = 13 $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 18 horas)