Calculadora de matriz adjunta

Introduce los elementos de la matriz cuadrada (2x2 hasta 6x6) para calcular su adjunta paso a paso.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de matriz adjunta es una herramienta de álgebra lineal diseñada para procesar matrices cuadradas desde una dimensión de 2x2 hasta 6x6. Además de entregarte el resultado final estructurado, el motor matemático genera la resolución paso a paso para ayudarte a comprender la lógica del procedimiento.

Cómo ingresar tus datos:

  1. Selecciona el tamaño de la matriz: utiliza el menú de configuración inicial para definir la dimensión de la matriz cuadrada con la que vas a trabajar, eligiendo cualquiera de estos formatos: 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 y 6x6.
  2. Introduce los elementos: completa cada una de las celdas de la cuadrícula con tus datos. El sistema es capaz de procesar números enteros, decimales y fracciones exactas. Para evitar problemas de redondeo durante el cálculo analítico, te recomendamos ingresar los valores fraccionarios tal cual aparecen en tu ejercicio.

Una vez que ejecutes el cálculo, la herramienta organizará los resultados en dos secciones principales:

1. Respuesta rápida
En el primer bloque destacado, la calculadora te entregará directamente la matriz adjunta resultante (denotada como adj(A)).

2. Resolución paso a paso
A continuación de la respuesta, se desplegará un resumen del procedimiento analítico. Es importante recordar por definición matemática que la matriz adjunta es igual a la traspuesta de la matriz de cofactores. Por ello, el algoritmo estructurará el desarrollo general en dos fases principales: el cálculo de la matriz de cofactores y su trasposición.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Ejercicio 1

Calcular la matriz adjunta de la matriz 2x2:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\[0.5em] 3 & 4 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz adjunta de A es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\[0.5em] -3 & 5 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

Primero, hallamos la matriz de cofactores de A. Su orden es el mismo que la original y cada elemento se reemplaza por su cofactor correspondiente.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\[0.5em] C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $$

Cada cofactor Cij se calcula usando la siguiente fórmula, donde Mij es el menor complementario: el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

$$ \displaystyle C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $$

Aplicando la fórmula a cada elemento de la matriz, obtenemos que la matriz de cofactores es:

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\[0.5em] 2 & 5 \end{bmatrix} $$

Si quieres ver el paso a paso del cálculo de cada cofactor, consulta la calculadora de matriz de cofactores.

2. Trasponer la matriz de cofactores.

La matriz adjunta de A se define como la transpuesta de su matriz de cofactores. Es decir, cambiamos las filas por columnas: adj(A) = CT.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\[0.5em] -3 & 5 \end{bmatrix} $$
Ejercicio 2

Hallar la matriz adjunta de la matriz 3x3:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\[0.5em] 4 & 0 & -2 \\[0.5em] -1 & 5 & 3 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz adjunta obtenida para A es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10 & 14 & 6 \\[0.5em] -10 & 7 & 8 \\[0.5em] 20 & -7 & 12 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} 10 & -10 & 20 \\[0.5em] 14 & 7 & -7 \\[0.5em] 6 & 8 & 12 \end{bmatrix} $$

2. Trasponer la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 10 & 14 & 6 \\[0.5em] -10 & 7 & 8 \\[0.5em] 20 & -7 & 12 \end{bmatrix} $$
Ejercicio 3

Determinar la matriz adjunta de la matriz:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -1 \\[0.5em] 3 & -2 & 0 \\[0.5em] \frac{4}{3} & 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz de adjuntos de A es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{7}{8} & -2 \\[0.5em] \frac{3}{2} & \frac{13}{12} & -3 \\[0.5em] \frac{17}{3} & -\frac{1}{6} & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{17}{3} \\[0.5em] -\frac{7}{8} & \frac{13}{12} & -\frac{1}{6} \\[0.5em] -2 & -3 & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$

2. Trasponer la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{7}{8} & -2 \\[0.5em] \frac{3}{2} & \frac{13}{12} & -3 \\[0.5em] \frac{17}{3} & -\frac{1}{6} & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$
Ejercicio 4

Encontrar la matriz adjunta correspondiente a la matriz A:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -1 \\[0.5em] 3 & -2 & 0 \\[0.5em] \frac{4}{3} & 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz adjunta de A es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{7}{8} & -2 \\[0.5em] \frac{3}{2} & \frac{13}{12} & -3 \\[0.5em] \frac{17}{3} & -\frac{1}{6} & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{17}{3} \\[0.5em] -\frac{7}{8} & \frac{13}{12} & -\frac{1}{6} \\[0.5em] -2 & -3 & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$

2. Trasponer la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{7}{8} & -2 \\[0.5em] \frac{3}{2} & \frac{13}{12} & -3 \\[0.5em] \frac{17}{3} & -\frac{1}{6} & -\frac{7}{4} \end{bmatrix} $$
Ejercicio 5

Obtener la matriz adjunta de la matriz 4x4:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 & -3 \\[0.5em] -2 & 1 & -1 & -2 \\[0.5em] -3 & -1 & 2 & 0 \\[0.5em] 0 & -2 & -3 & -1 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz de adjuntos resultante es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -15 & 17 & 25 & 11 \\[0.5em] 11 & -25 & 13 & 17 \\[0.5em] -17 & 13 & -3 & 25 \\[0.5em] 29 & 11 & -17 & -15 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} -15 & 11 & -17 & 29 \\[0.5em] 17 & -25 & 13 & 11 \\[0.5em] 25 & 13 & -3 & -17 \\[0.5em] 11 & 17 & 25 & -15 \end{bmatrix} $$

2. Trasponer la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} -15 & 17 & 25 & 11 \\[0.5em] 11 & -25 & 13 & 17 \\[0.5em] -17 & 13 & -3 & 25 \\[0.5em] 29 & 11 & -17 & -15 \end{bmatrix} $$
Ejercicio 6

Calcular la matriz adjunta dada la matriz:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & \frac{3}{4} & 2 & -1 \\[0.5em] 1 & -2 & 0 & \frac{1}{3} \\[0.5em] -1 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz adjunta para A es:

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \frac{25}{6} & \frac{23}{3} & -2 & -\frac{39}{4} \\[0.5em] \frac{8}{3} & \frac{10}{3} & -6 & -\frac{14}{3} \\[0.5em] \frac{3}{4} & \frac{13}{6} & 2 & \frac{19}{8} \\[0.5em] \frac{7}{2} & -3 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Calcular la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle C(A) = \begin{bmatrix} \frac{25}{6} & \frac{8}{3} & \frac{3}{4} & \frac{7}{2} \\[0.5em] \frac{23}{3} & \frac{10}{3} & \frac{13}{6} & -3 \\[0.5em] -2 & -6 & 2 & -\frac{1}{2} \\[0.5em] -\frac{39}{4} & -\frac{14}{3} & \frac{19}{8} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} $$

2. Trasponer la matriz de cofactores.

$$ \displaystyle \text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} \frac{25}{6} & \frac{23}{3} & -2 & -\frac{39}{4} \\[0.5em] \frac{8}{3} & \frac{10}{3} & -6 & -\frac{14}{3} \\[0.5em] \frac{3}{4} & \frac{13}{6} & 2 & \frac{19}{8} \\[0.5em] \frac{7}{2} & -3 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{4} \end{bmatrix} $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 3 semanas)