Calculadora de multiplicación de matrices

Selecciona el orden de cada matriz e introduce sus elementos para calcular el producto AB paso a paso.

Matriz A
Matriz B

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de multiplicación de matrices es una herramienta de álgebra lineal diseñada para calcular el producto entre dos matrices (A y B). Además de entregarte la matriz resultante, el sistema genera todo el desarrollo matemático paso a paso para que comprendas el procedimiento de cálculo de cada elemento.

Configuración e ingreso de datos:

  1. Dimensiones de las matrices: en la pantalla encontrarás dos bloques independientes, uno para la matriz A y otro para la matriz B. Utiliza los selectores individuales para definir el número de filas y columnas de cada una. La herramienta admite dimensiones que van desde 1 hasta 6 (por ejemplo, desde un vector fila 1x3 hasta una matriz cuadrada 6x6).
  2. Regla de compatibilidad: por definición matemática, dos matrices solo pueden multiplicarse si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. Si ingresas dimensiones incompatibles, el algoritmo te mostrará una alerta advirtiéndote del error para que puedas corregirlo.
  3. Ingreso de elementos: rellena las celdas con tus datos. El motor algebraico es flexible y soporta números enteros, decimales y fracciones exactas. Te sugerimos ingresar los valores de tu ejercicio en su formato original para que la herramienta trabaje analíticamente y evite errores de redondeo.

Una vez que los datos estén ingresados y validados, la calculadora procesará la operación y estructurará los resultados en dos secciones principales:

1. Respuesta rápida
En el primer bloque destacado encontrarás de manera directa el resultado final de la multiplicación (AB). Esta caja de resultado es ideal si estás buscando verificar rápidamente la solución de tus ejercicios.

2. Resolución paso a paso
A continuación de la respuesta directa, se desplegará el procedimiento detallado. Para enseñarte cómo se realiza el producto matricial, el sistema mostrará la siguiente secuencia:

  • Análisis del orden resultante: el algoritmo te explicará cómo deducir el tamaño de la matriz final, tomando la cantidad de filas de A y la cantidad de columnas de B.
  • Armado del esquema: se construirá una matriz que servirá de guía, indicando cada elemento a calcular (c11, c12, c13...).
  • Cálculo individual por elemento: el sistema desglosará analíticamente la obtención de cada componente de la matriz resultado. Verás cómo se multiplica cada elemento de una fila específica de la matriz A por los elementos de la columna correspondiente de la matriz B, y cómo se suman esos productos.
  • Ensamblaje final: en el último paso, se colocarán todos los resultados individuales dentro del esquema generado anteriormente, construyendo la matriz final simplificada.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Ejercicio 1

Multiplicar la matriz A de orden 2x3 por la matriz B de orden 3x2:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\[0.6em] 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\[0.6em] -1 & 0 \\[0.6em] 3 & -2 \end{bmatrix} $$

Resultado

El resultado de la multiplicación de las matrices A y B es la siguiente matriz de orden 2x2:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 9 & -3 \\[0.6em] 9 & -8 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el orden de la nueva matriz.

La matriz A es de orden 2x3 y la matriz B de orden 3x2. Como el número de columnas de A (3) es igual al número de filas de B (3), la multiplicación es posible. La matriz producto AB tendrá el orden resultante de las filas de A y las columnas de B: 2x2.

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\[0.6em] c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} $$

Cada elemento cij de la matriz resultante se calcula multiplicando ordenadamente cada término de la fila i de A por el elemento correspondiente en la columna j de B y sumando el total.

2. Calcular cada elemento de la matriz producto.

Cálculo de c11

Para obtener el elemento c11, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{11} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] -1 \\[0.6em] 3 \end{bmatrix} \\[1em] = (1)(2) + (-1)(-1) + (2)(3) \\[1em] = 2 + 1 + 6 \\[1em] = 9 $$
Cálculo de c12

Para obtener el elemento c12, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{12} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\[0.6em] 0 \\[0.6em] -2 \end{bmatrix} \\[1em] = (1)(1) + (-1)(0) + (2)(-2) \\[1em] = 1 + 0 + (-4) \\[1em] = 1 + 0 - 4 \\[1em] = -3 $$
Cálculo de c21

Para obtener el elemento c21, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] -1 \\[0.6em] 3 \end{bmatrix} \\[1em] = (0)(2) + (3)(-1) + (4)(3) \\[1em] = 0 + (-3) + 12 \\[1em] = 0 - 3 + 12 \\[1em] = 9 $$
Cálculo de c22

Para obtener el elemento c22, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{22} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\[0.6em] 0 \\[0.6em] -2 \end{bmatrix} \\[1em] = (0)(1) + (3)(0) + (4)(-2) \\[1em] = 0 + 0 + (-8) \\[1em] = 0 + 0 - 8 \\[1em] = -8 $$

3. Armar la matriz final.

Teniendo los valores de todos los elementos, determinamos que la matriz que resulta de la multiplicación es:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 9 & -3 \\[0.6em] 9 & -8 \end{bmatrix} $$
Ejercicio 2

Calcular el producto de las siguientes matrices cuadradas de orden 2x2:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\[0.6em] 3 & 4 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\[0.6em] 1 & 2 \end{bmatrix} $$

Resultado

El producto de multiplicar las matrices A y B genera la siguiente matriz de dimensión 2x2:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\[0.6em] 10 & 8 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el orden de la nueva matriz.

Dado que la matriz A posee dimensión 2x2 y la matriz B es de dimensión 2x2, comprobamos que el número de columnas de A (2) coincide con las filas de B (2). En consecuencia, la multiplicación es viable y dará como resultado una matriz AB de dimensión 2x2.

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\[0.6em] c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} $$

Cada elemento cij de la matriz resultante se calcula multiplicando ordenadamente cada término de la fila i de A por el elemento correspondiente en la columna j de B y sumando el total.

2. Calcular cada elemento de la matriz producto.

Cálculo de c11

Para obtener el elemento c11, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] 1 \end{bmatrix} \\[1em] = (1)(2) + (2)(1) \\[1em] = 2 + 2 \\[1em] = 4 $$
Cálculo de c12

Para obtener el elemento c12, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\[0.6em] 2 \end{bmatrix} \\[1em] = (1)(0) + (2)(2) \\[1em] = 0 + 4 \\[1em] = 4 $$
Cálculo de c21

Para obtener el elemento c21, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{21} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] 1 \end{bmatrix} \\[1em] = (3)(2) + (4)(1) \\[1em] = 6 + 4 \\[1em] = 10 $$
Cálculo de c22

Para obtener el elemento c22, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{22} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\[0.6em] 2 \end{bmatrix} \\[1em] = (3)(0) + (4)(2) \\[1em] = 0 + 8 \\[1em] = 8 $$

3. Armar la matriz final.

Teniendo los valores de todos los elementos, determinamos que la matriz que resulta de la multiplicación es:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\[0.6em] 10 & 8 \end{bmatrix} $$
Ejercicio 3

Obtener el producto entre las matrices 3x3:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 1 \\[0.6em] \frac{1}{3} & -1 & 2 \\[0.6em] 0 & \frac{1}{4} & -2 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\[0.6em] 1 & \frac{1}{2} & -1 \\[0.6em] 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

Resultado

Al efectuar la operación de multiplicación A · B se obtiene la siguiente matriz de tamaño 3x3:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 4 & -\frac{1}{2} & 2 \\[0.6em] \frac{17}{3} & -\frac{5}{6} & 5 \\[0.6em] -\frac{23}{4} & \frac{1}{8} & -\frac{17}{4} \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el orden de la nueva matriz.

Dado que la matriz A tiene un orden 3x3 y la matriz B presenta un orden 3x3, se cumple la condición de multiplicabilidad (columnas de A igual a filas de B: 3). Por lo tanto, la matriz producto AB tendrá una estructura de orden 3x3.

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\[0.6em] c_{21} & c_{22} & c_{23} \\[0.6em] c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} $$

Cada elemento cij de la matriz resultante se calcula multiplicando ordenadamente cada término de la fila i de A por el elemento correspondiente en la columna j de B y sumando el total.

2. Calcular cada elemento de la matriz producto.

Cálculo de c11

Para obtener el elemento c11, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{11} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] 1 \\[0.6em] 3 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{2}\right)(2) + (0)(1) + (1)(3) \\[1em] = 1 + 0 + 3 \\[1em] = 4 $$
Cálculo de c12

Para obtener el elemento c12, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{12} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\[0.6em] \frac{1}{2} \\[0.6em] 0 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{2}\right)(-1) + (0)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(0) \\[1em] = \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 + 0 \\[1em] = -\frac{1}{2} + 0 + 0 \\[1em] = -\frac{1}{2} $$
Cálculo de c13

Para obtener el elemento c13, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 3 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{13} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\[0.6em] -1 \\[0.6em] 2 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)(-1) + (1)(2) \\[1em] = 0 + 0 + 2 \\[1em] = 2 $$
Cálculo de c21

Para obtener el elemento c21, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{21} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] 1 \\[0.6em] 3 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{3}\right)(2) + (-1)(1) + (2)(3) \\[1em] = \frac{2}{3} + (-1) + 6 \\[1em] = \frac{2}{3} - 1 + 6 \\[1em] = \frac{17}{3} $$
Cálculo de c22

Para obtener el elemento c22, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{22} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\[0.6em] \frac{1}{2} \\[0.6em] 0 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{3}\right)(-1) + (-1)\left(\frac{1}{2}\right) + (2)(0) \\[1em] = \left(-\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \\[1em] = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 0 \\[1em] = -\frac{5}{6} $$
Cálculo de c23

Para obtener el elemento c23, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 3 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{23} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\[0.6em] -1 \\[0.6em] 2 \end{bmatrix} \\[1em] = \left(\frac{1}{3}\right)(0) + (-1)(-1) + (2)(2) \\[1em] = 0 + 1 + 4 \\[1em] = 5 $$
Cálculo de c31

Para obtener el elemento c31, tomamos la fila 3 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{31} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\[0.6em] 1 \\[0.6em] 3 \end{bmatrix} \\[1em] = (0)(2) + \left(\frac{1}{4}\right)(1) + (-2)(3) \\[1em] = 0 + \frac{1}{4} + (-6) \\[1em] = 0 + \frac{1}{4} - 6 \\[1em] = -\frac{23}{4} $$
Cálculo de c32

Para obtener el elemento c32, tomamos la fila 3 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{32} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\[0.6em] \frac{1}{2} \\[0.6em] 0 \end{bmatrix} \\[1em] = (0)(-1) + \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + (-2)(0) \\[1em] = 0 + \frac{1}{8} + 0 \\[1em] = \frac{1}{8} $$
Cálculo de c33

Para obtener el elemento c33, tomamos la fila 3 de la matriz A y la columna 3 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{33} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\[0.6em] -1 \\[0.6em] 2 \end{bmatrix} \\[1em] = (0)(0) + \left(\frac{1}{4}\right)(-1) + (-2)(2) \\[1em] = 0 + \left(-\frac{1}{4}\right) + (-4) \\[1em] = 0 - \frac{1}{4} - 4 \\[1em] = -\frac{17}{4} $$

3. Armar la matriz final.

Teniendo los valores de todos los elementos, determinamos que la matriz que resulta de la multiplicación es:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 4 & -\frac{1}{2} & 2 \\[0.6em] \frac{17}{3} & -\frac{5}{6} & 5 \\[0.6em] -\frac{23}{4} & \frac{1}{8} & -\frac{17}{4} \end{bmatrix} $$
Ejercicio 4

Determinar el producto de la matriz A de orden 3x3 por la matriz columna B de orden 3x1:

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\[0.6em] -3 & -1 & 2 \\[0.6em] -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -11 \\[0.6em] -3 \end{bmatrix} $$

Resultado

La multiplicación matricial de A por B da como resultado la siguiente matriz columna de orden 3x1:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -19 \\[0.6em] -33 \end{bmatrix} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el orden de la nueva matriz.

Observamos que la matriz A es de orden 3x3 mientras que la matriz B es de orden 3x1. Puesto que las columnas de A (3) coinciden exactamente con las filas de B (3), es posible efectuar el producto, resultando una matriz AB de orden 3x1.

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} c_{11} \\[0.6em] c_{21} \\[0.6em] c_{31} \end{bmatrix} $$

Cada elemento cij de la matriz resultante se calcula multiplicando ordenadamente cada término de la fila i de A por el elemento correspondiente en la columna j de B y sumando el total.

2. Calcular cada elemento de la matriz producto.

Cálculo de c11

Para obtener el elemento c11, tomamos la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{11} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -11 \\[0.6em] -3 \end{bmatrix} \\[1em] = (2)(8) + (1)(-11) + (-1)(-3) \\[1em] = 16 + (-11) + 3 \\[1em] = 16 - 11 + 3 \\[1em] = 8 $$
Cálculo de c21

Para obtener el elemento c21, tomamos la fila 2 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{21} = \begin{bmatrix} -3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -11 \\[0.6em] -3 \end{bmatrix} \\[1em] = (-3)(8) + (-1)(-11) + (2)(-3) \\[1em] = (-24) + 11 + (-6) \\[1em] = -24 + 11 - 6 \\[1em] = -19 $$
Cálculo de c31

Para obtener el elemento c31, tomamos la fila 3 de la matriz A y la columna 1 de la matriz B. Multiplicamos sus elementos correspondientes posición por posición (primero con primero, segundo con segundo, etc.) y sumamos los resultados.

$$ \displaystyle c_{31} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -11 \\[0.6em] -3 \end{bmatrix} \\[1em] = (-2)(8) + (1)(-11) + (2)(-3) \\[1em] = (-16) + (-11) + (-6) \\[1em] = -16 - 11 - 6 \\[1em] = -33 $$

3. Armar la matriz final.

Teniendo los valores de todos los elementos, determinamos que la matriz que resulta de la multiplicación es:

$$ \displaystyle AB = \begin{bmatrix} 8 \\[0.6em] -19 \\[0.6em] -33 \end{bmatrix} $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 3 semanas)