Calculadora de eliminación de Gauss-Jordan

Selecciona el tamaño de la matriz aumentada e introduce los coeficientes del sistema lineal para resolverlo por el método de Gauss-Jordan paso a paso.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de eliminación de Gauss-Jordan es una herramienta de álgebra lineal diseñada especialmente para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Al procesar la información mediante una matriz aumentada, la herramienta clasifica el sistema y genera la resolución detallada con todas las operaciones entre filas.

Cómo configurar e ingresar tus datos:

  1. Selecciona las dimensiones: utiliza los menús desplegables para ajustar el tamaño de tu sistema. El motor admite desde 1 hasta 8 filas (ecuaciones) y desde 1 hasta 8 columnas (variables + término independiente).
  2. Introduce los coeficientes: completa cada celda de la cuadrícula con los valores de tu problema. La calculadora procesa números enteros, decimales y fracciones exactas. Para evitar errores de redondeo, el sistema mantendrá los números en su forma fraccionaria durante toda la resolución matemática.

Una vez procesados los datos, la herramienta estructurará los resultados en dos secciones principales:

1. Respuesta rápida y análisis del sistema
En el primer bloque destacado encontrarás la matriz resultante tras aplicar el método a la matriz aumentada. La herramienta analizará matemáticamente esta matriz final y emitirá un diagnóstico:

  • Sistema consistente determinado: si existe una única solución, te entregará los valores exactos para cada incógnita (por ejemplo, x1, x2, x3).
  • Sistema consistente indeterminado: si existen infinitas soluciones, te mostrará las ecuaciones paramétricas que definen el conjunto solución.
  • Sistema inconsistente: te avisará si el cruce de ecuaciones genera una contradicción matemática (como 0 = 1), indicando que el problema carece de solución.

2. Resolución paso a paso
A continuación, se desplegará el desarrollo analítico completo. Podrás observar cómo el algoritmo avanza columna por columna aplicando operaciones elementales de fila:

  • Elección del pivote: en cada paso, el sistema identificará el elemento de la diagonal principal. Te mostrará por qué número se divide toda esa fila para convertir dicho pivote en 1.
  • Eliminación de elementos: verás las sumas y restas entre filas (por ejemplo, F2 = F2 - 3F1) que se utilizan para convertir en 0 todos los demás elementos por encima y por debajo del pivote.
  • Escalonamiento de coeficientes: el proceso continuará de manera iterativa hasta lograr escalonar por completo la sección correspondiente a la matriz de coeficientes (antes de la línea divisoria).

Nota sobre el modo de trabajo: por defecto, la calculadora tiene activado el selector de "Matriz aumentada", ya que es la forma habitual de resolver sistemas de ecuaciones lineales (donde la última columna actúa como constantes y no se pivotea sobre ella). Si tu objetivo puramente matricial es encontrar la matriz escalonada reducida por filas de una matriz general, simplemente desactiva esta casilla. Al hacerlo, la línea divisoria desaparecerá y el algoritmo continuará el método de Gauss-Jordan hasta el final de la última columna disponible.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Ejercicio 1

Resolver el sistema lineal 3x3 con la siguiente matriz aumentada mediante el método de Gauss-Jordan:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right] $$

Resultado

Luego de aplicar el método de Gauss-Jordan, la matriz resultante es:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right] $$

El sistema es consistente determinado y tiene una única solución:

$$ \displaystyle x_{1} = 1, \quad x_{2} = 2, \quad x_{3} = 3 $$

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial

Identificamos la matriz sobre la cual vamos a operar.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right] $$

2. Limpiar la columna 1

El pivote en la posición (1, 1) es 1. Usaremos la fila 1 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & -3 & -1 & -9 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 & 2 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos la fila 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & -3 & -1 & -9 \\[0.5em] 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right] $$

3. Limpiar la columna 2

Convertimos el pivote en la posición (2, 2) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 2 por -1/3. Usaremos la fila 2 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow -\frac{1}{3}F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos la fila 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & -2 & -4 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos la fila 2.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 0 & -\frac{7}{3} & -7 \end{array} \right] $$

4. Limpiar la columna 3

Convertimos el pivote en la posición (3, 3) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 3 por -3/7. Usaremos la fila 3 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow -\frac{3}{7}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 3 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos 2/3 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - \frac{2}{3}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 3 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos 1/3 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - \frac{1}{3}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 3 \end{array} \right] $$
Ejercicio 2

Calcular la solución del sistema lineal aplicando Gauss-Jordan a la matriz aumentada:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 3 & 7 \\[0.5em] 1 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 2 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right] $$

Resultado

Luego de aplicar el método de Gauss Jordan, la matriz resultante es:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{7}{3} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & \frac{5}{3} \end{array} \right] $$

El sistema es consistente determinado y tiene una única solución:

$$ \displaystyle x_{1} = \frac{7}{3}, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = \frac{5}{3} $$

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial

Identificamos la matriz sobre la cual vamos a operar.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 3 & 7 \\[0.5em] 1 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 2 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right] $$

2. Limpiar la columna 1

El elemento en la posición (1, 1) es cero. Buscamos una fila inferior con un valor distinto de cero e intercambiamos. Intercambiamos la fila 1 con la fila 2.

$$ \displaystyle F_{1} \leftrightarrow F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 2 & 3 & 7 \\[0.5em] 2 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right] $$

El pivote en la posición (1, 1) es 1. Usaremos la fila 1 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 2 & 3 & 7 \\[0.5em] 2 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos 2 veces la fila 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 2 & 3 & 7 \\[0.5em] 0 & 3 & -3 & -2 \end{array} \right] $$

3. Limpiar la columna 2

Convertimos el pivote en la posición (2, 2) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 2 por 1/2. Usaremos la fila 2 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow \frac{1}{2}F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\[0.5em] 0 & 3 & -3 & -2 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le sumamos la fila 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} + F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{13}{2} \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\[0.5em] 0 & 3 & -3 & -2 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos 3 veces la fila 2.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 3F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{13}{2} \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\[0.5em] 0 & 0 & -\frac{15}{2} & -\frac{25}{2} \end{array} \right] $$

4. Limpiar la columna 3

Convertimos el pivote en la posición (3, 3) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 3 por -2/15. Usaremos la fila 3 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow -\frac{2}{15}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{13}{2} \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{5}{3} \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos 5/2 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - \frac{5}{2}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{7}{3} \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{5}{3} \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos 3/2 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - \frac{3}{2}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{7}{3} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{5}{3} \end{array} \right] $$
Ejercicio 3

Hallar el resultado del sistema lineal por el método de Gauss Jordan usando la matriz aumentada:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\[0.5em] 1 & -1 & -1 \end{array} \right] $$

Resultado

Luego de aplicar el método de Gauss-Jordan, la matriz resultante es:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & 2 \end{array} \right] $$

El sistema es consistente determinado y tiene una única solución:

$$ \displaystyle x_{1} = 1, \quad x_{2} = 2 $$

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial

Identificamos la matriz sobre la cual vamos a operar.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\[0.5em] 1 & -1 & -1 \end{array} \right] $$

2. Limpiar la columna 1

Convertimos el pivote en la posición (1, 1) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 1 por 1/2. Usaremos la fila 1 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow \frac{1}{2}F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} \boldsymbol{1} & \frac{3}{2} & 4 \\[0.5em] 1 & -1 & -1 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos la fila 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} \boldsymbol{1} & \frac{3}{2} & 4 \\[0.5em] 0 & -\frac{5}{2} & -5 \end{array} \right] $$

3. Limpiar la columna 2

Convertimos el pivote en la posición (2, 2) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 2 por -2/5. Usaremos la fila 2 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow -\frac{2}{5}F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & \frac{3}{2} & 4 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos 3/2 veces la fila 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - \frac{3}{2}F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \end{array} \right] $$
Ejercicio 4

Determinar la solución (si existe) del sistema lineal con el método de Gauss-Jordan para la matriz aumentada 3x4:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 \\[0.5em] 4 & -2 & 6 & 8 \\[0.5em] 6 & -3 & 9 & 12 \end{array} \right] $$

Resultado

Luego de aplicar el método de Gauss Jordan, la matriz resultante es:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

El sistema es consistente indeterminado. Hay menos ecuaciones válidas (filas no nulas) que variables, por lo que existen infinitas soluciones.

La solución general parametrizada en función de las variables libres es:

$$ \displaystyle x_{1} = -\frac{3 x_{3}}{2}+\frac{x_{2}}{2}+2, \quad x_{2} \in \mathbb{R}, \quad x_{3} \in \mathbb{R} $$

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial

Identificamos la matriz sobre la cual vamos a operar.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 \\[0.5em] 4 & -2 & 6 & 8 \\[0.5em] 6 & -3 & 9 & 12 \end{array} \right] $$

2. Limpiar la columna 1

Convertimos el pivote en la posición (1, 1) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 1 por 1/2. Usaremos la fila 1 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow \frac{1}{2}F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 2 \\[0.5em] 4 & -2 & 6 & 8 \\[0.5em] 6 & -3 & 9 & 12 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos 4 veces la fila 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 4F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 6 & -3 & 9 & 12 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos 6 veces la fila 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 6F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} \boldsymbol{1} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$
Ejercicio 5

Encontrar la solución del sistema lineal 4x4 mediante Gauss Jordan a partir de la matriz aumentada:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] -1 & 1 & 2 & -1 & -3 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 & 9 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

Resultado

Luego de aplicar el método de Gauss-Jordan, la matriz resultante es:

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{109}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \end{array} \right] $$

El sistema es consistente determinado y tiene una única solución:

$$ \displaystyle x_{1} = \frac{109}{7}, \quad x_{2} = \frac{2}{7}, \quad x_{3} = \frac{15}{7}, \quad x_{4} = -8 $$

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial

Identificamos la matriz sobre la cual vamos a operar.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] -1 & 1 & 2 & -1 & -3 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 & 9 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

2. Limpiar la columna 1

El pivote en la posición (1, 1) es 1. Usaremos la fila 1 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} \boldsymbol{1} & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] -1 & 1 & 2 & -1 & -3 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 & 9 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le sumamos la fila 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} + F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} \boldsymbol{1} & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & 3 & 1 & 0 & 3 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 & 3 & 9 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos 2 veces la fila 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} \boldsymbol{1} & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & 3 & 1 & 0 & 3 \\[0.5em] 0 & -5 & 3 & 1 & -3 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

A la fila 4 le restamos la fila 1.

$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} - F_{1} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} \boldsymbol{1} & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & 3 & 1 & 0 & 3 \\[0.5em] 0 & -5 & 3 & 1 & -3 \\[0.5em] 0 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right] $$

3. Limpiar la columna 2

Convertimos el pivote en la posición (2, 2) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 2 por 1/3. Usaremos la fila 2 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow \frac{1}{3}F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 6 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & -5 & 3 & 1 & -3 \\[0.5em] 0 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos 2 veces la fila 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & -5 & 3 & 1 & -3 \\[0.5em] 0 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le sumamos 5 veces la fila 2.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} + 5F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{14}{3} & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right] $$

A la fila 4 le sumamos la fila 2.

$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} + F_{2} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{14}{3} & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{7}{3} & 0 & 5 \end{array} \right] $$

4. Limpiar la columna 3

Convertimos el pivote en la posición (3, 3) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 3 por 3/14. Usaremos la fila 3 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow \frac{3}{14}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{7}{3} & 0 & 5 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le sumamos 5/3 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} + \frac{5}{3}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{19}{14} & \frac{33}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{7}{3} & 0 & 5 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le restamos 1/3 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - \frac{1}{3}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{19}{14} & \frac{33}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{14} & \frac{6}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & \frac{7}{3} & 0 & 5 \end{array} \right] $$

A la fila 4 le restamos 7/3 veces la fila 3.

$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} - \frac{7}{3}F_{3} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{19}{14} & \frac{33}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{14} & \frac{6}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 4 \end{array} \right] $$

5. Limpiar la columna 4

Convertimos el pivote en la posición (4, 4) en 1. Para ello, multiplicamos la fila 4 por -2. Usaremos la fila 4 para hacer ceros en el resto de la columna.

$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow -2F_{4} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{19}{14} & \frac{33}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{14} & \frac{6}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} & -8 \end{array} \right] $$

A la fila 1 le restamos 19/14 veces la fila 4.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - \frac{19}{14}F_{4} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{109}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{14} & \frac{6}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} & -8 \end{array} \right] $$

A la fila 2 le sumamos 1/14 veces la fila 4.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} + \frac{1}{14}F_{4} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{109}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & \frac{3}{14} & \frac{3}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} & -8 \end{array} \right] $$

A la fila 3 le restamos 3/14 veces la fila 4.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - \frac{3}{14}F_{4} $$
$$ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{109}{7} \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{7} \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} & -8 \end{array} \right] $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 semanas)