Calculadora de hipérbolas

Introduce la ecuación de la hipérbola o los datos conocidos para obtener sus ecuaciones (canónica y general), sus elementos (centro, focos, vértices, semiejes, asíntotas, excentricidad, etc.) y su representación gráfica.

¿Qué datos conoces?

Foco 1

(

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Foco 2

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Vértice

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Foco

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Vértice 1

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Vértice 2

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Centro

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Foco

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Vértice

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Foco 1

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Foco 2

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Ecuación de la asíntota

Vértice 1

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Vértice 2

(

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Ecuación de la asíntota

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Determinar la ecuación general y elementos de la hipérbola $ \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1. $

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 - 16y^2 - 144 = 0 $$

Elementos de la hipérbola

Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-5, 0\right) \\\\ F_2 \left(5, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-4, 0\right) \\\\ V_2 \left(4, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -3\right) \\\\ B_2 \left(0, 3\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y = \pm \dfrac{3}{4} x $$

Semieje transversal: $ a = 4 $

Semieje conjugado: $ b = 3 $

Semidistancia focal: $ c = 5 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{9}{2} = 4.5 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{5}{4} = 1.25 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -4 \\\\ x_2 = 4 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 1. — Gráfico de la hipérbola

Calcular los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen $ \dfrac{(y+3)^2}{10}-\dfrac{(x-2)^2}{20}=1. $

Ecuaciones

Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{\left(y + 3\right)^2}{10} - \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{20} = 1 $$

Ecuación general

$$ x^2 - 2y^2 - 4x - 12y + 6 = 0 $$

Elementos de la hipérbola

Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: $ C \left(2, -3\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(2, -\sqrt{30}-3\right) \approx \left(2, -8.48\right) \\\\ F_2 \left(2, \sqrt{30}-3\right) \approx \left(2, 2.48\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(2, -\sqrt{10}-3\right) \approx \left(2, -6.16\right) \\\\ V_2 \left(2, \sqrt{10}-3\right) \approx \left(2, 0.16\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-2 \sqrt{5}+2, -3\right) \approx \left(-2.47, -3\right) \\\\ B_2 \left(2 \sqrt{5}+2, -3\right) \approx \left(6.47, -3\right) \end{array} $$

Ecuaciones de las asíntotas

$$ y + 3 = \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2 \sqrt{5}} \left(x - 2\right) $$

Semieje transversal: $ a = \sqrt{10} \approx 3.16 $

Semieje conjugado: $ b = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $

Semidistancia focal: $ c = \sqrt{30} \approx 5.48 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{40}{\sqrt{10}} \approx 12.65 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{10}} \approx 1.73 $

Ejes de simetría: $ x = 2, \quad y = -3 $

Intersecciones con el eje X

No existen intersecciones reales.

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = 5\left(-\dfrac{2 \sqrt{3}}{5}-\dfrac{3}{5}\right) \approx -6.46 \\\\ y_2 = 5\left(\dfrac{2 \sqrt{3}}{5}-\dfrac{3}{5}\right) \approx 0.46 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada fuera del origen de coordenadas, ejemplo 2. — Gráfico de la hipérbola en el plano

Obtener la ecuación ordinaria y los elementos de la hipérbola $ 4x^2-y^2=16. $

Ecuaciones

Ecuación canónica

$$ \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 - y^2 - 16 = 0 $$

Elementos

Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-2 \sqrt{5}, 0\right) \approx \left(-4.47, 0\right) \\\\ F_2 \left(2 \sqrt{5}, 0\right) \approx \left(4.47, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-2, 0\right) \\\\ V_2 \left(2, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -4\right) \\\\ B_2 \left(0, 4\right) \end{array} $$

Asíntotas

$$ y = \pm 2 x $$

Semieje transverso: $ a = 2 $

Semieje conjugado: $ b = 4 $

Semidistancia focal: $ c = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $

Lado recto: $ L_R = 16 $

Excentricidad: $ e = \sqrt{5} \approx 2.24 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -2 \\\\ x_2 = 2 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 3. — Gráfico de la hipérbola en el plano cartesiano

Calcular la ecuación canónica de la hipérbola $ 2y^2-x^2+2x+8y+3=0 $ y sus elementos.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(y + 2\right)^2}{2} - \dfrac{\left(x - 1\right)^2}{4} = 1 $$

Ecuación general

$$ x^2 - 2y^2 - 2x - 8y - 3 = 0 $$

Elementos

Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: $ C \left(1, -2\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(1, -\sqrt{6}-2\right) \approx \left(1, -4.45\right) \\\\ F_2 \left(1, \sqrt{6}-2\right) \approx \left(1, 0.45\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(1, -\sqrt{2}-2\right) \approx \left(1, -3.41\right) \\\\ V_2 \left(1, \sqrt{2}-2\right) \approx \left(1, -0.59\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-1, -2\right) \\\\ B_2 \left(3, -2\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y + 2 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(x - 1\right) $$

Semieje transversal: $ a = \sqrt{2} \approx 1.41 $

Semieje conjugado: $ b = 2 $

Semidistancia focal: $ c = \sqrt{6} \approx 2.45 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{8}{\sqrt{2}} \approx 5.66 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \approx 1.73 $

Ejes de simetría: $ x = 1, \quad y = -2 $

Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = 3 \\\\ x_2 = -1 $$

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = \dfrac{-2 \sqrt{10}-8}{4} \approx -3.58 \\\\ y_2 = \dfrac{2 \sqrt{10}-8}{4} \approx -0.42 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada fuera del origen de coordenadas, ejemplo 4. — Gráfica de la hipérbola

Encontrar las ecuaciones y elementos de la hipérbola con focos en (±5, 0) y un vértice en (3, 0).

Ecuaciones

Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 16x^2 - 9y^2 - 144 = 0 $$

Elementos de la hipérbola

Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-5, 0\right) \\\\ F_2 \left(5, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transverso)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-3, 0\right) \\\\ V_2 \left(3, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -4\right) \\\\ B_2 \left(0, 4\right) \end{array} $$

Asíntotas

$$ y = \pm \dfrac{4}{3} x $$

Semieje transverso: $ a = 3 $

Semieje conjugado: $ b = 4 $

Semidistancia focal: $ c = 5 $

Lado recto: $ L_R = \dfrac{32}{3} \approx 10.67 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{5}{3} \approx 1.67 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -3 \\\\ x_2 = 3 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 5. — Gráfica de la hipérbola

Determinar las ecuaciones y elementos de la hipérbola con vértices en (0, ±12) y asíntota y = -2x.

Ecuaciones

Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{y^2}{144} - \dfrac{x^2}{36} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 - y^2 + 144 = 0 $$

Elementos

Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: $ C \left(0, 0\right) $

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(0, -6 \sqrt{5}\right) \approx \left(0, -13.42\right) \\\\ F_2 \left(0, 6 \sqrt{5}\right) \approx \left(0, 13.42\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transverso)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(0, -12\right) \\\\ V_2 \left(0, 12\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-6, 0\right) \\\\ B_2 \left(6, 0\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y = \pm 2 x $$

Semieje transverso: $ a = 12 $

Semieje conjugado: $ b = 6 $

Semidistancia focal: $ c = 6 \sqrt{5} \approx 13.42 $

Lado recto: $ L_R = 6 $

Excentricidad: $ e = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.12 $

Ejes de simetría: $ x = 0, \quad y = 0 $

Intersecciones con el eje X

No existen intersecciones reales.

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = -12 \\\\ y_2 = 12 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 6. — Gráfico de la hipérbola

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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