Calculadora de la directriz de una parábola

Introduce la ecuación de la parábola para calcular la ecuación de su directriz y ver la resolución paso a paso junto con la gráfica.

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Determinar la ecuación de la recta directriz para la parábola $ y=x^2+6x+5. $

Resultado

La ecuación de la directriz de la parábola dada es:

$$ y = -\dfrac{17}{4} = -4.25 $$

Resolución paso a paso

1. Obtener las coordenadas del vértice.

Iniciaremos examinando la ecuación ingresada:

$$ y = x^2 + 6x + 5 $$

Dado que la ecuación está en su forma estándar o polinómica $ y = ax^2 + bx + c $, extraeremos el coeficiente principal que nos servirá más adelante:

$$ a = 1 $$

Determinamos que el vértice de la parábola es $ V\left(-3, -4\right) $. Si quieres ver cómo se calculó, puedes consultar la calculadora de vértice.

2. Calcular el parámetro focal (p).

El parámetro p define la distancia del vértice al foco y a la directriz. Lo hallamos utilizando el coeficiente 'a' mediante la siguiente fórmula:

$$ p = \dfrac{1}{4a} \\[1em] p = \dfrac{1}{4(1)} \\[1em] p = \dfrac{1}{4} $$

3. Formular la ecuación de la directriz.

Como la parábola es vertical (la variable x está elevada al cuadrado), la directriz será una recta horizontal. Su ecuación se define restando el parámetro p a la coordenada y del vértice (k):

$$ y = k - p \\[1em] y = -4 - \dfrac{1}{4} \\[1em] y = -\dfrac{17}{4} = -4.25 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola vertical que abre hacia arriba y su directriz. — Gráfica de la parábola con la directriz

Calcular la directriz de la parábola $ y=-3x^2+6x-2. $

Respuesta

La ecuación de la directriz de la parábola dada es:

$$ y = \dfrac{13}{12} \approx 1.08 $$

Resolución paso a paso

1. Obtener las coordenadas del vértice.

Iniciaremos examinando la ecuación ingresada:

$$ y = -3x^2 + 6x - 2 $$

Dado que la ecuación está en su forma estándar o polinómica $ y = ax^2 + bx + c $, extraeremos el coeficiente principal que nos servirá más adelante:

$$ a = -3 $$

Determinamos que el vértice de la parábola es $ V\left(1, 1\right) $.

2. Calcular el parámetro focal (p).

El parámetro p define la distancia del vértice al foco y a la directriz. Lo hallamos utilizando el coeficiente 'a' mediante la siguiente fórmula:

$$ p = \dfrac{1}{4a} \\[1em] p = \dfrac{1}{4(-3)} \\[1em] p = -\dfrac{1}{12} $$

3. Formular la ecuación de la directriz.

Como la parábola es vertical (la variable x está elevada al cuadrado), la directriz será una recta horizontal. Su ecuación se define restando el parámetro p a la coordenada y del vértice (k):

$$ y = k - p \\[1em] y = 1 - \left(-\dfrac{1}{12}\right) \\[1em] y = \dfrac{13}{12} \approx 1.08 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola vertical que abre hacia abajo y su directriz. — Gráfica de la parábola con su directriz

Obtener la directriz de la parábola conociendo su ecuación canónica $ (y+2)^2=8(x-5). $

Solución

La ecuación de la directriz de la parábola dada es:

$$ x = 3 $$

Resolución paso a paso

1. Obtener las coordenadas del vértice.

Iniciaremos examinando la ecuación ingresada:

$$ (y + 2)^2 = 8(x - 5) $$

La ecuación ya se encuentra en su forma canónica $ (y - k)^2 = 4p(x - h) $, lo que nos facilita extraer los parámetros clave de manera directa. El vértice (h, k) de la parábola se ubica en:

$$ V\left(5, -2\right) $$

2. Calcular el parámetro focal (p).

En la forma canónica, el coeficiente que acompaña al término lineal equivale a 4p. Igualamos este valor para despejar la incógnita p:

$$ 4p = 8 \\[1em] p = \dfrac{8}{4} \\[1em] p = 2 $$

3. Formular la ecuación de la directriz.

Como la parábola es horizontal (la variable y está elevada al cuadrado), la directriz será una recta vertical. Su ecuación se define restando el parámetro p a la coordenada x del vértice (h):

$$ x = h - p \\[1em] x = 5 - 2 \\[1em] x = 3 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola horizontal que abre hacia la derecha y su directriz. — Gráfico de la parábola con la directriz

Hallar la ecuación de la directriz de la parábola $ x=-\frac14y^2-2y+1. $

Resultado

La ecuación de la directriz de la parábola dada es:

$$ x = 6 $$

Resolución paso a paso

1. Obtener las coordenadas del vértice.

Iniciaremos examinando la ecuación ingresada:

$$ x = -\dfrac{1}{4}y^2 - 2y + 1 $$

Dado que la ecuación está en su forma estándar o polinómica $ x = ay^2 + by + c $, extraeremos el coeficiente principal que nos servirá más adelante:

$$ a = -\dfrac{1}{4} $$

Determinamos que el vértice de la parábola es $ V\left(5, -4\right) $.

2. Calcular el parámetro focal (p).

El parámetro p define la distancia del vértice al foco y a la directriz. Lo hallamos utilizando el coeficiente 'a' mediante la siguiente fórmula:

$$ p = \dfrac{1}{4a} \\[1em] p = \dfrac{1}{4\left(-\dfrac{1}{4}\right)} \\[1em] p = -1 $$

3. Formular la ecuación de la directriz.

Como la parábola es horizontal (la variable y está elevada al cuadrado), la directriz será una recta vertical. Su ecuación se define restando el parámetro p a la coordenada x del vértice (h):

$$ x = h - p \\[1em] x = 5 - \left(-1\right) \\[1em] x = 6 $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda y su directriz. — Gráfico de la parábola y la directriz

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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