Calculadora de parábolas

Introduce la ecuación de la parábola o los datos conocidos para obtener todas sus ecuaciones (estándar, general y canónica), sus elementos (foco, vértice, directriz, eje de simetría, lado recto, intersecciones con los ejes) y una gráfica interactiva de la curva.

¿Qué datos conoces?

Vértice (V)

(

)

Foco (F)

(

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Vértice (V)

(

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Directriz

Vértice (V)

(

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Punto (P)

(

)

Foco (F)

(

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Directriz

Punto 1

(

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Punto 2

(

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Punto 3

(

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Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Analizar la parábola cuya ecuación es $ y=x^2-4x+3. $

Ecuaciones de la parábola

Ecuación polinómica o estándar

$$ y = x^{2}-4 x+3 $$

Ecuación general o desarrollada

$$ -x^{2}+4 x+y-3 = 0 $$

Ecuación ordinaria o canónica

$$ \left(x-2\right)^2 = \left(y+1\right) $$

Elementos de la parábola

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: $ V \left(2, -1\right) $

Foco: $ F \left(2, -\dfrac{3}{4}\right) \approx \left(2, -0.75\right) $

Ecuación de la directriz: $ y = -\dfrac{5}{4} = -1.25 $

Ecuación del eje de simetría: $ x = 2 $

Longitud del lado recto: $ L_R = 1 $

Parámetro: $ p = \dfrac{1}{4} = 0.25 $

Distancia focal: $ |p| = \dfrac{1}{4} = 0.25 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x (raíces)

$$ x_1 = 1 \\[1em] x_2 = 3 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = 3 $$

Dominio: $ D = \mathbb{R} $

Rango: $ R = \left[-1, +\infty\right) $

Gráfico de una parábola vertical en el plano cartesiano, con vértice fuera del origen, ecuación, foco y directriz. — Gráfico de la parábola

Dada la parábola con ecuación $ x^{2}+6 x+8 y+25 = 0 $, determinar sus elementos.

Ecuaciones

Ecuación estándar

$$ y = -\dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{3 x}{4}-\dfrac{25}{8} $$

Ecuación general de segundo grado

$$ x^{2}+6 x+8 y+25 = 0 $$

Ecuación ordinaria

$$ \left(x+3\right)^2 = -8\left(y+2\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia abajo.

Vértice: $ V \left(-3, -2\right) $

Foco: $ F \left(-3, -4\right) $

Ecuación de la directriz: $ y = 0 $

Eje de simetría: $ x = -3 $

Longitud del lado recto: $ L_R = 8 $

Parámetro: $ p = -2 $

Distancia focal: $ |p| = 2 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x (abscisas)

No existen en los reales.

Intersecciones con el eje y (ordenadas)

$$ y_1 = -\dfrac{25}{8} = -3.125 $$

Dominio: $ D = \mathbb{R} $

Rango: $ R = \left(-\infty, -2\right] $

Gráfica en el plano cartesiano de una parábola vertical que abre hacia abajo, con vértice fuera del origen, ecuación, foco y directriz. — Gráfica de la curva

Realizar un análisis completo de la parábola horizontal con ecuación $ (y+2)^2 = -12(x-1) $.

Fórmulas de la parábola

Ecuación desarrollada

$$ x = -\dfrac{y^{2}}{12}-\dfrac{y}{3}+\dfrac{2}{3} $$

Ecuación general o forma implícita

$$ y^{2}+4 y+12 x-8 = 0 $$

Ecuación ordinaria (forma vértice)

$$ \left(y+2\right)^2 = -12\left(x-1\right) $$

Elementos de la parábola

Orientación: Horizontal con apertura hacia la izquierda.

Vértice: $ V \left(1, -2\right) $

Foco: $ F \left(-2, -2\right) $

Directriz: $ x = 4 $

Eje de simetría: $ y = -2 $

Lado recto: $ L_R = 12 $

Parámetro: $ p = -3 $

Distancia focal: $ |p| = 3 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = \dfrac{2}{3} \approx 0.67 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = \dfrac{4 \sqrt{3}-4}{2} \approx 1.46 \\[1em] y_2 = \dfrac{-4 \sqrt{3}-4}{2} \approx -5.46 $$

Gráfica en el plano cartesiano de una parábola horizontal que abre hacia izquierda, con vértice fuera del origen, ecuación con coeficientes fraccionarios, foco y directriz. — Parábola en el plano cartesiano

Calcular las ecuaciones y elementos de la parábola con vértice en (2, 3) y foco en (2, 5).

Ecuaciones de la parábola

Ecuación estándar o explícita

$$ y = \dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2} $$

Ecuación general

$$ x^{2}-4 x-8 y+28 = 0 $$

Ecuación ordinaria (canónica)

$$ \left(x-2\right)^2 = 8\left(y-3\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: $ V \left(2, 3\right) $

Foco: $ F \left(2, 5\right) $

Directriz: $ y = 1 $

Eje de simetría: $ x = 2 $

Lado recto: $ L_R = 8 $

Parámetro: $ p = 2 $

Distancia focal: $ |p| = 2 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x

No existen en los reales.

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$

Dominio: $ D = \mathbb{R} $

Rango: $ R = \left[3, +\infty\right) $

Gráfica de una parábola vertical que abre hacia arriba en un sistema cartesiano, calculada a partir de su vértice y foco. — Gráfica de la curva en el plano

Determinar la ecuación y elementos de una parábola con foco en (3, 2) y directriz x = -1.

Ecuaciones

Ecuación estándar o polinómica

$$ x = \dfrac{y^{2}}{8}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{3}{2} $$

Ecuación general

$$ y^{2}-4 y-8 x+12 = 0 $$

Ecuación ordinaria

$$ \left(y-2\right)^2 = 8\left(x-1\right) $$

Elementos de la parábola

Orientación y apertura: Horizontal con apertura hacia la derecha.

Vértice: $ V \left(1, 2\right) $

Foco: $ F \left(3, 2\right) $

Directriz: $ x = -1 $

Eje de simetría: $ y = 2 $

Lado recto: $ L_R = 8 $

Parámetro: $ p = 2 $

Distancia focal: $ |p| = 2 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = \dfrac{3}{2} = 1.5 $$

Intersecciones con el eje y

No existen en los reales.

Gráfica en el plano cartesiano de una parábola horizontal que abre hacia derecha, con vértice fuera del origen, ecuación estándar, coordenadas del foco y directriz. Calculada a partir de su foco y directriz.

Obtener la ecuación y los elementos de la parábola vertical que pasa por los tres puntos (1, 0), (2, 3) y (3, 8).

Ecuaciones

Ecuación estándar

$$ y = x^{2}-1 $$

Ecuación general

$$ -x^{2}+y+1 = 0 $$

Ecuación canónica

$$ x^2 = \left(y+1\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: $ V \left(0, -1\right) $

Foco: $ F \left(0, -\dfrac{3}{4}\right) \approx \left(0, -0.75\right) $

Directriz: $ y = -\dfrac{5}{4} = -1.25 $

Eje de simetría: $ x = 0 $

Lado recto: $ L_R = 1 $

Parámetro: $ p = \dfrac{1}{4} = 0.25 $

Distancia focal: $ |p| = \dfrac{1}{4} = 0.25 $

Excentricidad: $ e = 1 $

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = -1 \\[1em] x_2 = 1 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = -1 $$

Dominio: $ D = \mathbb{R} $

Rango: $ R = \left[-1, +\infty\right) $

Gráfica en el plano cartesiano de una parábola vertical que abre hacia arriba, obtenida a partir de tres puntos, con vértice fuera del origen, ecuación, foco y directriz. — Gráfico de la parábola en el plano

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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