Calculadora del ángulo entre dos rectas

Introduce las ecuaciones de dos rectas (en cualquier forma) para obtener el ángulo entre ellas, ver el desarrollo paso a paso y la gráfica en el plano.

Recta 1 (L1)
Recta 2 (L2)

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de ángulo entre dos rectas es una herramienta analítica diseñada para hallar la amplitud angular formada por la intersección de dos líneas en el plano cartesiano. Además de entregarte el valor, el sistema genera la resolución matemática paso a paso y un gráfico de la situación.

Cómo ingresar tus datos:

  • Ecuaciones de las rectas: dispones de dos campos de texto independientes, uno para cada recta. Puedes escribir las ecuaciones en cualquier forma matemática válida: ecuación explícita (y = mx + b), ecuación general (Ax + By + C = 0), punto-pendiente o incluso expresiones desordenadas. El motor algebraico se encargará de simplificar, agrupar y despejar variables de forma automática.
  • Formatos numéricos: la herramienta admite coeficientes enteros, números decimales, fracciones exactas e irracionales. Los valores como raíces cuadradas o fracciones se conservan de manera simbólica durante el cálculo analítico para garantizar que no existan errores de redondeo.

Una vez que introduzcas las dos ecuaciones, el algoritmo procesará la información y te entregará la respuesta directa del ángulo. Por convención geométrica, la herramienta siempre devuelve la medida del ángulo agudo, es decir, un valor comprendido entre 0° y 90°.

A continuación del resultado principal, se desplegará la resolución paso a paso de tu ejercicio. Allí podrás observar cómo se analizan las pendientes y cómo se aplica la fórmula trigonométrica de la tangente: tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 · m2)|.

El motor matemático está preparado para manejar diversas situaciones analíticas. Durante el proceso, el sistema evalúa automáticamente si las rectas dadas son perpendiculares. Además, la calculadora funciona a la perfección con rectas verticales (por ejemplo, x = 4); aunque estas tengan una pendiente indefinida y no funcionaría la fórmula tradicional, el algoritmo aplica las propiedades geométricas necesarias para resolver el cruce y darte el ángulo sin arrojar errores.

Finalmente, bajo la resolución encontrarás un gráfico interactivo que traza ambas rectas en el plano cartesiano, destacando la intersección y el ángulo para que puedas comprobar visualmente el valor calculado.

Ejercicios resueltos

Calcular el ángulo entre las rectas \(2x-y+1=0\) y \(x+3y-6=0.\)

Resultado

El ángulo entre las rectas dadas es:

$$ \theta \approx 81.87^\circ $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las ecuaciones y obtener sus pendientes.

Las ecuaciones a trabajar son:

$$ L_1: 2x-y+1=0 \\ L_2: x+3y-6=0 $$

Nos aseguramos de que ambas ecuaciones estén expresadas en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos sus pendientes (m):

$$ L_1: y = 2 x + 1 \quad \rightarrow \quad m_1 = 2 $$
$$ L_2: y = -\dfrac{1}{3} x + 2 \quad \rightarrow \quad m_2 = -\dfrac{1}{3} $$

2. Evaluar el producto de las pendientes.

Multiplicamos ambas pendientes para verificar si las rectas son perpendiculares:

$$ m_1 \cdot m_2 = (2) \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{2}{3} $$

Como el producto no es -1, continuamos con el cálculo general.

3. Calcular la tangente del ángulo entre las rectas.

Utilizamos la fórmula general de la tangente del ángulo entre dos rectas, sustituyendo los valores de las pendientes extraídas:

$$ \tan(\theta) = \left| \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = \left| \dfrac{\left(-\dfrac{1}{3}\right) - (2)}{1 + (2) \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = \left| \dfrac{-\dfrac{7}{3}}{\dfrac{1}{3}} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = 7 $$

4. Hallar el ángulo.

Aplicamos la función arcotangente para obtener el ángulo final en grados:

$$ \theta = \arctan(7) \\[1em] \theta \approx 81.87^\circ $$
Gráfico de dos rectas oblicuas secantes en el plano cartesiano y el ángulo entre ellas, una con pendiente positiva y otra con pendiente negativa. Ejemplo 1.
Gráfico de las rectas en el plano
Determinar el ángulo formado por las líneas rectas \(x - 4 = 0\) y \(2x - y + 3 = 0.\)

Resultado

El ángulo entre las rectas dadas es:

$$ \theta \approx 26.57^\circ $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el tipo de rectas y obtener pendientes.

Las ecuaciones a trabajar son:

$$ L_1: x - 4 = 0 \\ L_2: 2x - y + 3 = 0 $$

Notamos que una de las rectas es vertical (no tiene variable y), por lo que su ángulo de inclinación es de 90°. Nos aseguramos de que la otra ecuación esté expresada en forma explícita (y = mx + b) y extraemos su pendiente:

$$ L_1: x = 4 \quad \rightarrow \quad \alpha_1 = 90^\circ $$
$$ L_2: y = 2 x + 3 \quad \rightarrow \quad m_2 = 2 $$

2. Calcular el ángulo de inclinación de la recta oblicua.

Aplicamos la función arcotangente a la pendiente para obtener el ángulo de inclinación de la recta oblicua respecto a la horizontal:

$$ \alpha_2 = \arctan(2) \\[1em] \alpha_2 \approx 63.43^\circ $$

3. Hallar el ángulo entre las rectas.

El ángulo entre una recta vertical y una oblicua es la diferencia absoluta entre sus respectivos ángulos de inclinación:

$$ \theta = | 90^\circ - \alpha_2 | \\[1em] \theta \approx | 90^\circ - 63.43^\circ | \\[1em] \theta \approx 26.57^\circ $$
Gráfico de dos rectas en el plano cartesiano, una vertical y otra oblicua con pendiente positiva y el ángulo entre ellas. Ejemplo 2.
Gráfico de las rectas en el plano
Encontrar el ángulo agudo entre las rectas en forma general \(3x - 2y + 5 = 0\) y \(2x + 3y - 1 = 0.\)

Resultado

El ángulo entre las rectas dadas es:

$$ \theta = 90^\circ $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las ecuaciones y obtener sus pendientes.

Las ecuaciones a trabajar son:

$$ L_1: 3x - 2y + 5 = 0 \\ L_2: 2x + 3y - 1 = 0 $$

Nos aseguramos de que ambas ecuaciones estén expresadas en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos sus pendientes (m):

$$ L_1: y = \dfrac{3}{2} x + \dfrac{5}{2} \quad \rightarrow \quad m_1 = \dfrac{3}{2} $$
$$ L_2: y = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{1}{3} \quad \rightarrow \quad m_2 = -\dfrac{2}{3} $$

2. Evaluar el producto de las pendientes.

Multiplicamos ambas pendientes para verificar si las rectas son perpendiculares:

$$ m_1 \cdot m_2 = \left(\dfrac{3}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 $$

Como el producto es exactamente -1, se confirma que las rectas son perpendiculares entre sí.

3. Hallar el ángulo.

Al ser perpendiculares, no es necesario aplicar la fórmula general. El ángulo entre ellas es directo:

$$ \theta = 90^\circ $$
Gráfico de dos rectas perpendiculares en el plano cartesiano. Ejemplo 3
Gráfica de las rectas en el plano
Hallar el ángulo entre las líneas rectas \(\sqrt{3}x - y = 0\) y \(y = x.\)

Resultado

El ángulo entre las rectas dadas es:

$$ \theta = 15^\circ $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las ecuaciones y obtener sus pendientes.

Las ecuaciones a trabajar son:

$$ L_1: \sqrt{3}x - y = 0 \\ L_2: y = x $$

Nos aseguramos de que ambas ecuaciones estén expresadas en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos sus pendientes (m):

$$ L_1: y = \sqrt{3} x \quad \rightarrow \quad m_1 = \sqrt{3} $$
$$ L_2: y = x \quad \rightarrow \quad m_2 = 1 $$

2. Evaluar el producto de las pendientes.

Multiplicamos ambas pendientes para verificar si las rectas son perpendiculares:

$$ m_1 \cdot m_2 = \left(\sqrt{3}\right) \cdot (1) = \sqrt{3} $$

Como el producto no es -1, continuamos con el cálculo general.

3. Calcular la tangente del ángulo entre las rectas.

Utilizamos la fórmula general de la tangente del ángulo entre dos rectas, sustituyendo los valores de las pendientes extraídas:

$$ \tan(\theta) = \left| \dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = \left| \dfrac{(1) - \left(\sqrt{3}\right)}{1 + \left(\sqrt{3}\right) \cdot (1)} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = \left| \dfrac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \right| \\[1.5em] \tan(\theta) = \left|\dfrac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\right| $$

4. Hallar el ángulo.

Aplicamos la función arcotangente para obtener el ángulo final en grados:

$$ \theta = \arctan\left(\left|\dfrac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\right|\right) \\[1em] \theta = 15^\circ $$
Gráfico de dos rectas secantes en el plano cartesiano con pendiente positiva y el ángulo entre ellas. Ejemplo 4.
Gráfica de las rectas en el plano

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 1 hora)