Calculadora de distancia de un punto a una recta

Introduce las coordenadas del punto y la ecuación de la recta para obtener la distancia, la resolución paso a paso y el gráfico cartesiano.

Coordenadas del punto

( , )

Ecuación de la recta

x + y + = 0

Resultado

La distancia entre el punto y la recta es:

Ejemplos rápidos

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¿Qué es la distancia de un punto a una recta?

En geometría analítica, distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que une ese punto con la recta. La fórmula general para calcular la distancia d de un punto P(x₀, y₀) a una recta L expresada en su forma general, Ax + By + C = 0, es:

$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Gráfico de la distancia mínima de un punto a una recta con su fórmula general

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Ejercicios resueltos

Calcular la distancia del punto (2, 3) a la línea recta x + y + 1 = 0.

Resultado

La distancia entre el punto $ P(2, 3) $ y la recta $ x+ y+ 1 = 0 $ es:

$$ d = 3\sqrt{2} \approx 4.24 $$

Resolución paso a paso

La fórmula a utilizar es la siguiente:

$$ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

1. Identificamos los coeficientes y las coordenadas del punto:

$$ \begin{aligned} A &= 1 & x_0 &= 2 \\[1em] B &= 1 & y_0 &= 3 \\[1em] C &= 1 & & \end{aligned} $$

2. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ d = \dfrac{|1\left(2\right) + 1\left(3\right) +1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} $$

3. Calculamos los productos y potencias:

$$ d = \dfrac{|2 +3 +1|}{\sqrt{1 + 1}} $$

4. Resolvemos el numerador y denominador:

$$ d = \dfrac{|6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} $$

5. Resultado final exacto y aproximado:

$$ d = 3\sqrt{2} \approx 4.24 $$

Cálculo de la distancia de un punto a una recta: gráfico del segmento perpendicular que une un punto con una recta en el plano cartesiano. — Distancia entre un punto y una recta

Determinar la distancia entre el punto P(-2, 5) y la recta que pasa por (0, 0) y (3, 4).

Solución

La distancia entre el punto $ P(-2, 5) $ y la recta con ecuación $ -4x+ 3y = 0 $ es:

$$ d = \dfrac{23}{5} = 4.6 $$

Resolución paso a paso

La fórmula de distancia es la siguiente:

$$ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

La ecuación general de la recta que pasa por los puntos dados es:

$$ -4x+ 3y = 0 $$

1. Identificamos los coeficientes y las coordenadas del punto:

$$ \begin{aligned} A &= -4 & x_0 &= -2 \\[1em] B &= 3 & y_0 &= 5 \\[1em] C &= 0 & & \end{aligned} $$

2. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ d = \dfrac{|\left(-4\right)\left(-2\right) + 3\left(5\right) +0|}{\sqrt{\left(-4\right)^2 + 3^2}} $$

3. Calculamos los productos y potencias:

$$ d = \dfrac{|8 +15 +0|}{\sqrt{16 + 9}} $$

4. Resolvemos el numerador y denominador:

$$ d = \dfrac{|23|}{\sqrt{25}} = \dfrac{23}{\sqrt{25}} $$

5. Resultado final:

$$ d = \dfrac{23}{5} = 4.6 $$

Gráfico del segmento perpendicular que une un punto con una recta en el plano cartesiano y su longitud.

Obtener la distancia que separa al punto (1, 1) de la línea recta 3x + y/2 + 1 = 0.

Resultado

La distancia entre el punto $ P(1, 1) $ y la recta $ 3x+ \dfrac{1}{2}y+ 1 = 0 $ es:

$$ d = \dfrac{9\sqrt{37}}{37} \approx 1.48 $$

Resolución paso a paso

La fórmula a utilizar es la siguiente:

$$ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

1. Identificamos los coeficientes y las coordenadas del punto:

$$ \begin{aligned} A &= 3 & x_0 &= 1 \\[1em] B &= \dfrac{1}{2} & y_0 &= 1 \\[1em] C &= 1 & & \end{aligned} $$

2. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ d = \dfrac{\left|3\left(1\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(1\right) +1\right|}{\sqrt{3^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2}} $$

3. Calculamos los productos y potencias:

$$ d = \dfrac{\left|3 +\dfrac{1}{2} +1\right|}{\sqrt{9 + \dfrac{1}{4}}} $$

4. Resolvemos el numerador y denominador:

$$ d = \dfrac{\left|\dfrac{9}{2}\right|}{\sqrt{\dfrac{37}{4}}} = \dfrac{\dfrac{9}{2}}{\sqrt{\dfrac{37}{4}}} $$

5. Resultado final y su aproximación decimal:

$$ d = \dfrac{9\sqrt{37}}{37} \approx 1.48 $$

Gráfico del segmento perpendicular que une un punto con una recta en el plano cartesiano y su distancia.

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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