Calculadora del foco de una parábola

Introduce la ecuación de la parábola para calcular las coordenadas de su foco y ver la resolución paso a paso junto con la gráfica.

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Calcular el foco de la parábola a partir de su ecuación: $ y=x^2-4x+7. $

Resultado

El foco de la parábola dada es:

$$ F\left(2, \dfrac{13}{4}\right) = \left(2, 3.25\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y el vértice.

La ecuación ingresada es:

$$ y = x^2 - 4x + 7 $$

La ecuación se encuentra en su forma estándar (polinómica): $ y = ax^2 + bx + c $. Por lo tanto, extraemos el coeficiente principal, ya que lo usaremos en el siguiente paso:

$$ a = 1 $$

El vértice de la parábola se encuentra en $ V\left(2, 3\right) $. Para ver cómo encontrarlo paso a paso, consulta la calculadora de vértice.

2. Hallar el parámetro focal (p).

A partir del coeficiente a, calculamos el parámetro p utilizando esta fórmula:

$$ p = \dfrac{1}{4a} \\[1em] p = \dfrac{1}{4(1)} \\[1em] p = \dfrac{1}{4} $$

3. Calcular las coordenadas del foco.

Al ser una parábola vertical (la variable x está al cuadrado), para hallar el foco debemos sumar el parámetro p (con su signo) a la coordenada y del vértice:

$$ F(h, k + p) \\[1em] F\left(2, 3 + \dfrac{1}{4}\right) \\[1em] F\left(2, \dfrac{13}{4}\right) = \left(2, 3.25\right) $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola vertical abierta hacia arriba con ecuación, foco y vértice. — Gráfica de la parábola y su foco

Determinar las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es $ y=-2x^2-12x-14. $

Solución

El foco de la parábola dada es:

$$ F\left(-3, \dfrac{31}{8}\right) = \left(-3, 3.875\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y el vértice.

La ecuación ingresada es:

$$ y = -2x^2 - 12x - 14 $$

La ecuación se encuentra en su forma estándar (polinómica): $ y = ax^2 + bx + c $. Por lo tanto, extraemos el coeficiente principal, ya que lo usaremos en el siguiente paso:

$$ a = -2 $$

El vértice de la parábola se encuentra en $ V\left(-3, 4\right) $.

2. Hallar el parámetro focal (p).

A partir del coeficiente a, calculamos el parámetro p utilizando esta fórmula:

$$ p = \dfrac{1}{4a} \\[1em] p = \dfrac{1}{4(-2)} \\[1em] p = -\dfrac{1}{8} $$

3. Calcular las coordenadas del foco.

Al ser una parábola vertical (la variable x está al cuadrado), para hallar el foco debemos sumar el parámetro p (con su signo) a la coordenada y del vértice:

$$ F(h, k + p) \\[1em] F\left(-3, 4 + \left(-\dfrac{1}{8}\right)\right) \\[1em] F\left(-3, \dfrac{31}{8}\right) = \left(-3, 3.875\right) $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola vertical abierta hacia abajo con ecuación, foco y vértice. — Gráfico de la parábola y su foco

Hallar el foco de la parábola definida por la ecuación ordinaria $ (y-3)^2=10(x+4). $

Respuesta

El foco de la parábola dada es:

$$ F\left(-\dfrac{3}{2}, 3\right) = \left(-1.5, 3\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y el vértice.

La ecuación ingresada es:

$$ (y - 3)^2 = 10(x + 4) $$

La ecuación se encuentra en su forma canónica: $ (y - k)^2 = 4p(x - h) $, donde el vértice es (h, k). Esta estructura nos permite extraer los parámetros necesarios de forma directa. En este caso, el vértice es:

$$ V\left(-4, 3\right) $$

2. Hallar el parámetro focal (p).

El coeficiente que multiplica al término lineal en la ecuación original corresponde a 4p. Lo igualamos conservando su signo para despejar p:

$$ 4p = 10 \\[1em] p = \dfrac{10}{4} \\[1em] p = \dfrac{5}{2} $$

3. Calcular las coordenadas del foco.

Al ser una parábola horizontal (la variable y está al cuadrado), para hallar el foco debemos sumar el parámetro p (con su signo) a la coordenada x del vértice:

$$ F(h + p, k) \\[1em] F\left(-4 + \dfrac{5}{2}, 3\right) \\[1em] F\left(-\dfrac{3}{2}, 3\right) = \left(-1.5, 3\right) $$

Gráfico en el plano cartesiano de una parábola horizontal abierta hacia la derecha con ecuación, foco y vértice. — Gráfica de la parábola con su foco

Calcular la posición del foco para la parábola descrita por la ecuación $ (x+2)^2=6(y-1). $

Resultado

El foco de la parábola dada es:

$$ F\left(-2, \dfrac{5}{2}\right) = \left(-2, 2.5\right) $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y el vértice.

La ecuación ingresada es:

$$ (x + 2)^2 = 6(y - 1) $$

La ecuación se encuentra en su forma canónica: $ (x - h)^2 = 4p(y - k) $, donde el vértice es (h, k). Esta estructura nos permite extraer los parámetros necesarios de forma directa. En este caso, el vértice es:

$$ V\left(-2, 1\right) $$

2. Hallar el parámetro focal (p).

El coeficiente que multiplica al término lineal en la ecuación original corresponde a 4p. Lo igualamos conservando su signo para despejar p:

$$ 4p = 6 \\[1em] p = \dfrac{6}{4} \\[1em] p = \dfrac{3}{2} $$

3. Calcular las coordenadas del foco.

Al ser una parábola vertical (la variable x está al cuadrado), para hallar el foco debemos sumar el parámetro p (con su signo) a la coordenada y del vértice:

$$ F(h, k + p) \\[1em] F\left(-2, 1 + \dfrac{3}{2}\right) \\[1em] F\left(-2, \dfrac{5}{2}\right) = \left(-2, 2.5\right) $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

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