Calculadora del punto de intersección de dos rectas

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online del punto de intersección de dos rectas es una herramienta algebraica que te permite encontrar las coordenadas exactas donde dos líneas se cruzan en el plano. La herramienta no solo entrega la respuesta directa, sino que detalla el procedimiento paso a paso y grafica el resultado.

Para utilizarla, sigue estos pasos:

1. Selecciona la forma de la ecuación: utiliza el menú desplegable para indicar en qué formato ingresarás tus datos. El sistema te permite trabajar con la ecuación en su forma general (Ax + By + C = 0) o en su forma explícita (y = mx + b), también se admiten casos mixtos (una general y otra explícita).
2. Ingresa los coeficientes: una vez elegido el formato, escribe los valores correspondientes a cada recta en los campos de entrada. Puedes utilizar números enteros, decimales o fracciones exactas.
3. Resultado principal: al procesar los datos, la herramienta te mostrará de forma inmediata un recuadro con las coordenadas exactas (x, y) del punto de intersección. En caso de que las rectas sean paralelas o coincidentes, el sistema te lo notificará.
4. Resolución paso a paso: debajo del resultado final, encontrarás el desarrollo analítico completo. El algoritmo ordenará las ecuaciones ingresadas para plantear un sistema de ecuaciones lineales de 2x2. Luego, resolverá el sistema empleando la regla de Cramer, hasta llegar a las coordenadas finales.
5. Gráfico interactivo: al final de la página se generará un plano cartesiano interactivo. En él podrás visualizar el trazado de ambas rectas, acercar o alejar la imagen, y comprobar visualmente cómo ambas líneas se cortan exactamente en el punto de intersección calculado.

Ejercicios resueltos

Mira algunos ejemplos de problemas resueltos directamente con la herramienta.

Calcular el punto de intersección de las rectas 2x + 3y - 12 = 0 y x - y + 4 = 0.

Resultado

El punto de intersección de las rectas dadas es:

$$ P\left(0, \; 4\right) $$

Resolución paso a paso

1. Formar el sistema de ecuaciones

El punto de intersección, si existe, es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2. Para resolverlo, aplicaremos la Regla de Cramer.

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\[1em] x - y = -4 \end{cases} $$

2. Calcular el determinante principal (Δ) y los secundarios (Δx y Δy)

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1em] 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left(-1\right) - 1 \cdot 3 = -5 $$

$$ \Delta x = \begin{vmatrix} 12 & 3 \\[1em] -4 & -1 \end{vmatrix} = 12 \cdot \left(-1\right) - \left(-4\right) \cdot 3 = 0 $$

$$ \Delta y = \begin{vmatrix} 2 & 12 \\[1em] 1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left(-4\right) - 1 \cdot 12 = -20 $$

Como el determinante principal es distinto de cero (Δ ≠ 0), el sistema tiene solución única.

3. Encontrar las coordenadas del punto de intersección

Aplicamos la regla de Cramer para obtener las coordenadas finales:

$$ x = \dfrac{\Delta x}{\Delta} = \dfrac{0}{-5} = 0 $$

$$ y = \dfrac{\Delta y}{\Delta} = \dfrac{-20}{-5} = 4 $$

Por lo tanto, el punto es:

$$ P\left(0, \; 4\right) $$

Determinar el punto de intersección de las líneas rectas y = 2x + 3 e y = (-1/2)x + 2.

Solución

El punto de intersección de las rectas dadas es:

$$ P\left(2, \; 1\right) $$

Resolución paso a paso

1. Formar el sistema de ecuaciones

El punto de intersección, si existe, es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2. Para resolverlo, aplicaremos la Regla de Cramer.

$$ \begin{cases} -2x + y = -3 \\[1em] \dfrac{1}{2}x + y = 2 \end{cases} $$

2. Calcular el determinante principal (Δ) y los secundarios (Δx y Δy)

$$ \Delta = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1em] \dfrac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \left(-2\right) \cdot 1 - \dfrac{1}{2} \cdot 1 = -\dfrac{5}{2} $$

$$ \Delta x = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1em] 2 & 1 \end{vmatrix} = \left(-3\right) \cdot 1 - 2 \cdot 1 = -5 $$

$$ \Delta y = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\[1em] \dfrac{1}{2} & 2 \end{vmatrix} = \left(-2\right) \cdot 2 - \dfrac{1}{2} \cdot \left(-3\right) = -\dfrac{5}{2} $$

Como el determinante principal es distinto de cero (Δ ≠ 0), el sistema tiene solución única.

3. Encontrar las coordenadas del punto de intersección

Aplicamos la regla de Cramer para obtener las coordenadas finales:

$$ x = \dfrac{\Delta x}{\Delta} = \dfrac{-5}{-\dfrac{5}{2}} = 2 $$

$$ y = \dfrac{\Delta y}{\Delta} = \dfrac{-\dfrac{5}{2}}{-\dfrac{5}{2}} = 1 $$

En conclusión, el punto de intersección es:

$$ P\left(2, \; 1\right) $$

Encontrar el punto donde se intersectan las rectas y = (3/2)x y 3x + 2y - 3 = 0.

Respuesta

El punto de intersección de las rectas dadas es:

$$ P\left(\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{3}{4}\right) = P(0.5, \; 0.75) $$

Resolución paso a paso

1. Formar el sistema de ecuaciones

El punto de intersección, si existe, es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2. Para resolverlo, aplicaremos la Regla de Cramer.

$$ \begin{cases} -\dfrac{3}{2}x + y = 0 \\[1em] 3x + 2y = 3 \end{cases} $$

2. Calcular el determinante principal (Δ) y los secundarios (Δx y Δy)

$$ \Delta = \begin{vmatrix} -\dfrac{3}{2} & 1 \\[1em] 3 & 2 \end{vmatrix} = \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -6 $$

$$ \Delta x = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\[1em] 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -3 $$

$$ \Delta y = \begin{vmatrix} -\dfrac{3}{2} & 0 \\[1em] 3 & 3 \end{vmatrix} = \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot 3 - 3 \cdot 0 = -\dfrac{9}{2} $$

Como el determinante principal es distinto de cero (Δ ≠ 0), el sistema tiene solución única.

3. Encontrar las coordenadas del punto de intersección

Aplicamos la regla de Cramer para obtener las coordenadas finales:

$$ x = \dfrac{\Delta x}{\Delta} = \dfrac{-3}{-6} = \dfrac{1}{2} = 0.5 $$

$$ y = \dfrac{\Delta y}{\Delta} = \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{-6} = \dfrac{3}{4} = 0.75 $$

Por lo tanto, el punto es:

$$ P\left(\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{3}{4}\right) = P(0.5, \; 0.75) $$

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