Calculadora de parábolas

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de parábolas es una herramienta analítica que procesa diferentes datos de entrada para proporcionar un informe completo de todos los elementos de la curva. El motor matemático interpreta la información y devuelve las distintas formas de la ecuación, elementos importante y propiedades geométricas, trabajando con fracciones exactas y raíces para evitar errores de redondeo.

Para empezar, utiliza el selector principal para indicarle al sistema qué datos conoces de tu problema. Los modos de cálculo disponibles son los siguientes:

1. Ecuación de la parábola: ingresa la ecuación en cualquier formato reconocible. El sistema interpreta automáticamente la variable dependiente; si escribes x^2+2x+3, asume que es y = x^2+2x+3. También admite notación funcional como f(x), g(x), o ecuaciones implícitas. La calculadora procesa expresiones sin simplificar, desordenadas o con términos en ambos lados de la igualdad, completando cuadrados y agrupando términos de forma interna.
2. Vértice y foco: proporciona las coordenadas del vértice (h, k) y del foco. A partir de estas dos referencias, el algoritmo determina la orientación de la parábola (abre hacia arriba, abajo, derecha o izquierda) y construye la ecuación canónica y general.
3. Vértice y directriz: escribe los datos del vértice y la ecuación de la recta directriz (por ejemplo, y = -3 o x = 5).
4. Vértice y un punto: introduce las coordenadas del vértice y un punto cualquiera (x, y) por el que pase la curva. Como un solo punto no define la orientación, debes seleccionar en el menú desplegable la dirección en que se abre la parábola (horizontal o vertical, en sentido positivo o negativo).
5. Foco y directriz: basado en la definición geométrica del lugar geométrico, ingresa las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. La calculadora halla el vértice como el punto medio de la distancia más corta entre ambos elementos, deduce la orientación y genera la ecuación correspondiente.
6. Tres puntos: proporciona las coordenadas de tres puntos no colineales por los que pasa la parábola. En este modo, es obligatorio indicar la orientación de la curva (eje focal vertical u horizontal) mediante el selector correspondiente.

Una vez procesados los datos, la herramienta generará una ficha detallada con los componentes importantes de la figura:

• Ecuación estándar: expresada en la forma polinómica y = ax² + bx + c (o su equivalente en x).
• Ecuación canónica (forma vértice): la forma y = a(x - h)² + k (o su equivalente en x) que permite la identificación rápida del vértice.
• Ecuación ordinaria (geometría analítica): la forma (x - h)² = 4p(y - k), que facilita la identificación visual del vértice y la distancia focal, utilizada al trabajar con la parábola como cónica.
• Ecuación general: la expresión igualada a cero (Ax² + Dx + Ey + F = 0 o Cy² + Dx + Ey + F = 0).
• Elementos geométricos: listado que incluye las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la directriz, eje de simetría, longitud del lado recto, valor del parámetro p y puntos de intersección con los ejes cartesianos.

Nota: todos los campos numéricos y de ecuaciones aceptan números enteros, decimales y fracciones exactas. Las raíces irracionales se mantienen de forma simbólica en los resultados para garantizar la precisión analítica, también se entregan aproximaciones decimales.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos completamente por la calculadora de parábolas en sus diferentes modalidades.

Analizar la parábola cuya ecuación es \( y=x^2-4x+3. \)

Ecuaciones de la parábola

Ecuación polinómica o estándar

$$ y = x^{2}-4 x+3 $$

Ecuación canónica (forma vértice)

$$ y = \left(x-2\right)^2 - 1 $$

Ecuación ordinaria (cónica)

$$ \left(x-2\right)^2 = \left(y+1\right) $$

Ecuación general o desarrollada

$$ -x^{2}+4 x+y-3 = 0 $$

Elementos de la parábola

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: \( V \left(2, -1\right) \)

Foco: \( F \left(2, -\dfrac{3}{4}\right) \approx \left(2, -0.75\right) \)

Ecuación de la directriz: \( y = -\dfrac{5}{4} = -1.25 \)

Ecuación del eje de simetría: \( x = 2 \)

Longitud del lado recto: \( L_R = 1 \)

Parámetro: \( p = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)

Distancia focal: \( |p| = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x (raíces)

$$ x_1 = 1 \\[1em] x_2 = 3 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = 3 $$

Dominio: \( D = \mathbb{R} \)

Rango: \( R = \left[-1, +\infty\right) \)

Más información sobre la parábola en matemáticas

Dada la parábola con ecuación \( x^{2}+6 x+8 y+25 = 0 \), determinar sus elementos.

Ecuaciones

Ecuación estándar

$$ y = -\dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{3 x}{4}-\dfrac{25}{8} $$

Ecuación canónica (forma vértice)

$$ y = -\dfrac{1}{8}\left(x+3\right)^2 - 2 $$

Ecuación general de segundo grado

$$ x^{2}+6 x+8 y+25 = 0 $$

Ecuación ordinaria

$$ \left(x+3\right)^2 = -8\left(y+2\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia abajo.

Vértice: \( V \left(-3, -2\right) \)

Foco: \( F \left(-3, -4\right) \)

Ecuación de la directriz: \( y = 0 \)

Eje de simetría: \( x = -3 \)

Longitud del lado recto: \( L_R = 8 \)

Parámetro: \( p = -2 \)

Distancia focal: \( |p| = 2 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x (abscisas)

No existen en los reales.

Intersecciones con el eje y (ordenadas)

$$ y_1 = -\dfrac{25}{8} = -3.125 $$

Dominio: \( D = \mathbb{R} \)

Rango: \( R = \left(-\infty, -2\right] \)

Realizar un análisis completo de la parábola horizontal con ecuación \( (y+2)^2 = -12(x-1) \).

Fórmulas de la parábola

Ecuación desarrollada

$$ x = -\dfrac{y^{2}}{12}-\dfrac{y}{3}+\dfrac{2}{3} $$

Ecuación canónica (o normal)

$$ x = -\dfrac{1}{12}\left(y+2\right)^2 + 1 $$

Ecuación general o forma implícita

$$ y^{2}+4 y+12 x-8 = 0 $$

Ecuación ordinaria (forma vértice)

$$ \left(y+2\right)^2 = -12\left(x-1\right) $$

Elementos de la parábola

Orientación: Horizontal con apertura hacia la izquierda.

Vértice: \( V \left(1, -2\right) \)

Foco: \( F \left(-2, -2\right) \)

Directriz: \( x = 4 \)

Eje de simetría: \( y = -2 \)

Lado recto: \( L_R = 12 \)

Parámetro: \( p = -3 \)

Distancia focal: \( |p| = 3 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = \dfrac{2}{3} \approx 0.67 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = \dfrac{4 \sqrt{3}-4}{2} \approx 1.46 \\[1em] y_2 = \dfrac{-4 \sqrt{3}-4}{2} \approx -5.46 $$

Calcular las ecuaciones y elementos de la parábola con vértice en (2, 3) y foco en (2, 5).

Ecuaciones de la parábola

Ecuación estándar o explícita

$$ y = \dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2} $$

Ecuación general

$$ x^{2}-4 x-8 y+28 = 0 $$

Ecuación ordinaria (canónica)

$$ \left(x-2\right)^2 = 8\left(y-3\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: \( V \left(2, 3\right) \)

Foco: \( F \left(2, 5\right) \)

Directriz: \( y = 1 \)

Eje de simetría: \( x = 2 \)

Lado recto: \( L_R = 8 \)

Parámetro: \( p = 2 \)

Distancia focal: \( |p| = 2 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x

No existen en los reales.

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$

Dominio: \( D = \mathbb{R} \)

Rango: \( R = \left[3, +\infty\right) \)

Determinar la ecuación y elementos de una parábola con foco en (3, 2) y directriz x = -1.

Ecuaciones

Ecuación estándar o polinómica

$$ x = \dfrac{y^{2}}{8}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{3}{2} $$

Ecuación general

$$ y^{2}-4 y-8 x+12 = 0 $$

Ecuación ordinaria

$$ \left(y-2\right)^2 = 8\left(x-1\right) $$

Elementos de la parábola

Orientación y apertura: Horizontal con apertura hacia la derecha.

Vértice: \( V \left(1, 2\right) \)

Foco: \( F \left(3, 2\right) \)

Directriz: \( x = -1 \)

Eje de simetría: \( y = 2 \)

Lado recto: \( L_R = 8 \)

Parámetro: \( p = 2 \)

Distancia focal: \( |p| = 2 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = \dfrac{3}{2} = 1.5 $$

Intersecciones con el eje y

No existen en los reales.

Obtener la ecuación y los elementos de la parábola vertical que pasa por los tres puntos (1, 0), (2, 3) y (3, 8).

Ecuaciones

Ecuación estándar

$$ y = x^{2}-1 $$

Ecuación general

$$ -x^{2}+y+1 = 0 $$

Ecuación canónica

$$ x^2 = \left(y+1\right) $$

Elementos

Orientación: Vertical con apertura hacia arriba.

Vértice: \( V \left(0, -1\right) \)

Foco: \( F \left(0, -\dfrac{3}{4}\right) \approx \left(0, -0.75\right) \)

Directriz: \( y = -\dfrac{5}{4} = -1.25 \)

Eje de simetría: \( x = 0 \)

Lado recto: \( L_R = 1 \)

Parámetro: \( p = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)

Distancia focal: \( |p| = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)

Excentricidad: \( e = 1 \)

Intersecciones con el eje x

$$ x_1 = -1 \\[1em] x_2 = 1 $$

Intersecciones con el eje y

$$ y_1 = -1 $$

Dominio: \( D = \mathbb{R} \)

Rango: \( R = \left[-1, +\infty\right) \)

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