Calculadora de hipérbolas

Introduce la ecuación de la hipérbola o los datos conocidos para obtener sus ecuaciones (canónica y general), sus elementos (centro, focos, vértices, semiejes, asíntotas, excentricidad, etc.) y su representación gráfica.

Foco 1
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Foco 2
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Vértice
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Foco
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Vértice 1
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Vértice 2
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Centro
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Foco
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Vértice
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Foco 1
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Foco 2
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Ecuación de la asíntota
Vértice 1
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Vértice 2
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Ecuación de la asíntota

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de hipérbolas es una herramienta analítica diseñada para procesar múltiples combinaciones de datos y devolver un informe completo con las ecuaciones y todos los elementos geométricos de la curva.

Para comenzar, utiliza el selector principal para elegir qué información conoces de tu problema. La calculadora admite los siguientes modos de entrada:

  1. Ecuación de la hipérbola: el motor matemático interpreta la ecuación en cualquiera de sus formas. No es necesario que la simplifiques, agrupes o la escribas en un orden específico; puedes ingresar la forma general, la canónica o una expresión desordenada.
  2. Focos y un vértice: ingresa las coordenadas de los dos focos y de uno de los vértices. Con esta información, el algoritmo determinará la orientación y el centro de la sección cónica.
  3. Un foco y los dos vértices: de manera análoga al caso anterior, introduce las coordenadas de los dos vértices y de uno de los focos para que la herramienta deduzca el resto de los parámetros de la gráfica.
  4. Centro, foco y vértice: proporciona las coordenadas del punto central (h, k), junto con un foco y un vértice alineados con el centro.
  5. Focos y una asíntota: escribe las coordenadas de los dos focos y la ecuación de una de las líneas asíntotas. El sistema relacionará la pendiente de la asíntota con las distancias de los semiejes para construir la hipérbola.
  6. Vértices y una asíntota: ingresa ambos vértices y la ecuación de una asíntota. Al igual que en el modo anterior, el motor analizará las pendientes y las distancias para obtener la solución exacta.

Una vez que introduzcas tus datos y presiones el botón de cálculo, la herramienta analizará la figura y presentará los resultados divididos en dos cuadros principales:

  • Ecuaciones: en la parte superior verás la hipérbola expresada en sus dos formas matemáticas más importantes: la ecuación canónica (u ordinaria) que permite identificar rápidamente el centro y los semiejes, y la ecuación general igualada a cero (Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0).
  • Elementos geométricos: una ficha detallada que lista todas las propiedades de tu figura. Aquí encontrarás la orientación (eje transversal horizontal o vertical), las coordenadas del centro, focos, vértices y extremos del eje conjugado (covértices). También incluye las ecuaciones exactas de ambas asíntotas, la longitud de los semiejes (a y b), el lado recto, el valor de la excentricidad y los puntos de intersección con los ejes cartesianos X e Y.
  • Gráfico interactivo: al final de los resultados, la herramienta genera una representación visual en el plano cartesiano. Podrás observar claramente las dos ramas de la hipérbola, comprobar la inclinación de las asíntotas y ubicar espacialmente el centro. El lienzo te permite acercar, alejar o mover la vista para explorar la geometría de la curva.

Todos los campos numéricos aceptan números enteros, decimales y fracciones exactas. Para mantener la máxima precisión geométrica y algebraica, los resultados numéricos irracionales se presentan tanto en aproximación decimal como en su forma simbólica conservando las raíces.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Determinar la ecuación general y elementos de la hipérbola \( \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1. \)

Ecuaciones de la hipérbola


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1 $$

Ecuación general

$$ 9x^2 - 16y^2 - 144 = 0 $$

Elementos de la hipérbola


Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-5, 0\right) \\\\ F_2 \left(5, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-4, 0\right) \\\\ V_2 \left(4, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -3\right) \\\\ B_2 \left(0, 3\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y = \pm \dfrac{3}{4} x $$

Semieje transversal: \( a = 4 \)

Semieje conjugado: \( b = 3 \)

Semidistancia focal: \( c = 5 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{9}{2} = 4.5 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{5}{4} = 1.25 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)


Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -4 \\\\ x_2 = 4 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 1.
Gráfico de la hipérbola
Calcular los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen \( \dfrac{(y+3)^2}{10}-\dfrac{(x-2)^2}{20}=1. \)

Ecuaciones


Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{\left(y + 3\right)^2}{10} - \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{20} = 1 $$

Ecuación general

$$ x^2 - 2y^2 - 4x - 12y + 6 = 0 $$

Elementos de la hipérbola


Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: \( C \left(2, -3\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(2, -\sqrt{30}-3\right) \approx \left(2, -8.48\right) \\\\ F_2 \left(2, \sqrt{30}-3\right) \approx \left(2, 2.48\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(2, -\sqrt{10}-3\right) \approx \left(2, -6.16\right) \\\\ V_2 \left(2, \sqrt{10}-3\right) \approx \left(2, 0.16\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-2 \sqrt{5}+2, -3\right) \approx \left(-2.47, -3\right) \\\\ B_2 \left(2 \sqrt{5}+2, -3\right) \approx \left(6.47, -3\right) \end{array} $$

Ecuaciones de las asíntotas

$$ y + 3 = \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2 \sqrt{5}} \left(x - 2\right) $$

Semieje transversal: \( a = \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Semieje conjugado: \( b = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 \)

Semidistancia focal: \( c = \sqrt{30} \approx 5.48 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{40}{\sqrt{10}} \approx 12.65 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{10}} \approx 1.73 \)


Ejes de simetría: \( x = 2, \quad y = -3 \)


Intersecciones con el eje X

No existen intersecciones reales.

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = 5\left(-\dfrac{2 \sqrt{3}}{5}-\dfrac{3}{5}\right) \approx -6.46 \\\\ y_2 = 5\left(\dfrac{2 \sqrt{3}}{5}-\dfrac{3}{5}\right) \approx 0.46 $$
Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada fuera del origen de coordenadas, ejemplo 2.
Gráfico de la hipérbola en el plano
Obtener la ecuación ordinaria y los elementos de la hipérbola \( 4x^2-y^2=16. \)

Ecuaciones


Ecuación canónica

$$ \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 - y^2 - 16 = 0 $$

Elementos


Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-2 \sqrt{5}, 0\right) \approx \left(-4.47, 0\right) \\\\ F_2 \left(2 \sqrt{5}, 0\right) \approx \left(4.47, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-2, 0\right) \\\\ V_2 \left(2, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -4\right) \\\\ B_2 \left(0, 4\right) \end{array} $$

Asíntotas

$$ y = \pm 2 x $$

Semieje transverso: \( a = 2 \)

Semieje conjugado: \( b = 4 \)

Semidistancia focal: \( c = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 \)

Lado recto: \( L_R = 16 \)

Excentricidad: \( e = \sqrt{5} \approx 2.24 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)


Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -2 \\\\ x_2 = 2 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 3.
Gráfico de la hipérbola en el plano cartesiano
Calcular la ecuación canónica de la hipérbola \( 2y^2-x^2+2x+8y+3=0 \) y sus elementos.

Ecuaciones de la hipérbola


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{\left(y + 2\right)^2}{2} - \dfrac{\left(x - 1\right)^2}{4} = 1 $$

Ecuación general

$$ x^2 - 2y^2 - 2x - 8y - 3 = 0 $$

Elementos


Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: \( C \left(1, -2\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(1, -\sqrt{6}-2\right) \approx \left(1, -4.45\right) \\\\ F_2 \left(1, \sqrt{6}-2\right) \approx \left(1, 0.45\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transversal)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(1, -\sqrt{2}-2\right) \approx \left(1, -3.41\right) \\\\ V_2 \left(1, \sqrt{2}-2\right) \approx \left(1, -0.59\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-1, -2\right) \\\\ B_2 \left(3, -2\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y + 2 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(x - 1\right) $$

Semieje transversal: \( a = \sqrt{2} \approx 1.41 \)

Semieje conjugado: \( b = 2 \)

Semidistancia focal: \( c = \sqrt{6} \approx 2.45 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{8}{\sqrt{2}} \approx 5.66 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \approx 1.73 \)


Ejes de simetría: \( x = 1, \quad y = -2 \)


Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = 3 \\\\ x_2 = -1 $$

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = \dfrac{-2 \sqrt{10}-8}{4} \approx -3.58 \\\\ y_2 = \dfrac{2 \sqrt{10}-8}{4} \approx -0.42 $$
Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada fuera del origen de coordenadas, ejemplo 4.
Gráfica de la hipérbola
Encontrar las ecuaciones y elementos de la hipérbola con focos en (±5, 0) y un vértice en (3, 0).

Ecuaciones


Ecuación ordinaria

$$ \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1 $$

Ecuación general

$$ 16x^2 - 9y^2 - 144 = 0 $$

Elementos de la hipérbola


Orientación: Horizontal (eje transversal paralelo al eje X, ramas hacia la izquierda y derecha).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(-5, 0\right) \\\\ F_2 \left(5, 0\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transverso)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(-3, 0\right) \\\\ V_2 \left(3, 0\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(0, -4\right) \\\\ B_2 \left(0, 4\right) \end{array} $$

Asíntotas

$$ y = \pm \dfrac{4}{3} x $$

Semieje transverso: \( a = 3 \)

Semieje conjugado: \( b = 4 \)

Semidistancia focal: \( c = 5 \)

Lado recto: \( L_R = \dfrac{32}{3} \approx 10.67 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{5}{3} \approx 1.67 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)


Intersecciones con el eje X

$$ x_1 = -3 \\\\ x_2 = 3 $$

Intersecciones con el eje Y

No existen intersecciones reales.

Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola horizontal centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 5.
Gráfica de la hipérbola
Determinar las ecuaciones y elementos de la hipérbola con vértices en (0, ±12) y asíntota y = -2x.

Ecuaciones


Ecuación canónica u ordinaria

$$ \dfrac{y^2}{144} - \dfrac{x^2}{36} = 1 $$

Ecuación general

$$ 4x^2 - y^2 + 144 = 0 $$

Elementos


Orientación: Vertical (eje transversal paralelo al eje Y, ramas hacia arriba y abajo).

Centro: \( C \left(0, 0\right) \)

Focos

$$ \begin{array}{l} F_1 \left(0, -6 \sqrt{5}\right) \approx \left(0, -13.42\right) \\\\ F_2 \left(0, 6 \sqrt{5}\right) \approx \left(0, 13.42\right)\end{array} $$

Vértices (extremos del eje transverso)

$$ \begin{array}{l} V_1 \left(0, -12\right) \\\\ V_2 \left(0, 12\right) \end{array} $$

Extremos del eje conjugado

$$ \begin{array}{l} B_1 \left(-6, 0\right) \\\\ B_2 \left(6, 0\right) \end{array} $$

Ecuación de las asíntotas

$$ y = \pm 2 x $$

Semieje transverso: \( a = 12 \)

Semieje conjugado: \( b = 6 \)

Semidistancia focal: \( c = 6 \sqrt{5} \approx 13.42 \)

Lado recto: \( L_R = 6 \)

Excentricidad: \( e = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.12 \)


Ejes de simetría: \( x = 0, \quad y = 0 \)


Intersecciones con el eje X

No existen intersecciones reales.

Intersecciones con el eje Y

$$ y_1 = -12 \\\\ y_2 = 12 $$
Gráfico en el plano cartesiano de una hipérbola vertical centrada en el origen de coordenadas, ejemplo 6.
Gráfico de la hipérbola

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 meses)