Calculadora de secciones cónicas

Introduce la ecuación general de segundo grado para identificar el tipo de cónica, obtener su gráfica y la resolución paso a paso.

Ejemplos rápidos

Califica esta herramienta

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de secciones cónicas es una herramienta matemática diseñada para procesar cualquier ecuación general de segundo grado en dos variables. El sistema no solo clasifica la figura geométrica, sino que entrega la ecuación estandarizada, detalla el análisis analítico completo y grafica el resultado. Además, el motor algebraico está preparado para procesar ecuaciones con término cruzado xy, por lo que soporta cónicas rotadas donde B ≠ 0.

El funcionamiento es muy directo y se basa en un único modo de entrada:

  1. Ingreso de la ecuación: escribe la ecuación en la caja de entrada. No es necesario que la ordenes, simplifiques o iguales a cero previamente; puedes introducir la expresión general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 o cualquier forma implícita desordenada.
  2. Cuadro de resultados principales: al procesar la información, la herramienta mostrará un panel inicial con el análisis directo de la ecuación. Aquí se te indicará la clasificación exacta de la curva (circunferencia, elipse, parábola, hipérbola o sus equivalentes degenerados) acompañada de su respectiva ecuación canónica.
  3. Resolución paso a paso: el algoritmo comienza extrayendo los coeficientes para evaluar el discriminante (B2 - 4AC) y determinar la naturaleza principal de la sección cónica. A continuación, se calcula el determinante de la matriz de 3x3 asociada a la ecuación para descubrir si se trata de una curva ordinaria o de un caso degenerado (un punto, líneas secantes o líneas paralelas). Como paso final, si el discriminante señala el género elipse, la herramienta utiliza el invariante de traza para verificar matemáticamente si la figura representa una elipse real o si corresponde a un conjunto vacío (elipse imaginaria).
  4. Gráfica interactiva: en la parte inferior encontrarás un plano cartesiano interactivo. Podrás visualizar el trazado de la cónica final y explorar la gráfica acercando o alejando el lienzo.

Ejercicios resueltos

Mira algunos ejemplos de problemas resueltos directamente con la herramienta.

Analizar la ecuación \( x^2+y^2-25=0 \) y determinar el tipo de cónica que representa.

Análisis de la ecuación


Clasificación: Circunferencia.

Ecuación canónica: \( x^2 + y^2 = 25 \)

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 + y^2 - 25 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -25 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(1)(1) = -4 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(-25) - 2(1)(0)^2 - 2(0)^2(-25) + 2(0)(0)(0) - 2(1)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -200 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 1 + 1 = 2 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real. Además, dado que A = C y B = 0, la cónica es una circunferencia.

Gráfico en el plano cartesiano de una circunferencia centrada en el origen obtenida del análisis de una ecuación general de segundo grado.
Gráfica de la circunferencia
Determinar el tipo de cónica que representa la ecuación \( 9x^2+16y^2-144=0. \)

Análisis de la ecuación general


Clasificación: Elipse no degenerada.

Orientación: Horizontal (eje principal paralelo al eje X).

Ecuación ordinaria: \( \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \)

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de elipses.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ 9x^2 + 16y^2 - 144 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 9 \quad B = 0 \quad C = 16 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -144 $$

Realizaremos una análisis de los invariantes para determinar el tipo de cónica.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(9)(16) = -576 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(9)(16)(-144) - 2(9)(0)^2 - 2(0)^2(-144) + 2(0)(0)(0) - 2(16)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -165888 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 9 + 16 = 25 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo elipse obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado.
Gráfica de la cónica de tipo elipse
Hallar la cónica asociada a la siguiente ecuación general de segundo grado: \( y^2-8x-4y+28=0 \)

Análisis de la ecuación


Tipo: Parábola no degenerada.

Orientación: Horizontal (eje principal paralelo al eje X).

Ecuación canónica: \( \left(y - 2\right)^2 = 8\left(x - 3\right) \)

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de parábolas.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ y^2 - 8x - 4y + 28 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 0 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -8 \quad E = -4 \quad F = 28 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(0)(1) = 0 $$

Dado que Δ = 0, la ecuación corresponde a una parábola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(0)(1)(28) - 2(0)(-4)^2 - 2(0)^2(28) + 2(0)(-8)(-4) - 2(1)(-8)^2 \\[0.5em] \delta = -128 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo parábola obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado.
Gráfica de la sección cónica
Identificar qué curva cónica describe la expresión \( y^2-x^2-4x+6y-6=0. \)

Análisis de la ecuación


Sección cónica: Hipérbola no degenerada.

Orientación: Vertical (eje principal paralelo al eje Y).

Ecuación ordinaria: \( \dfrac{\left(y + 3\right)^2}{11} - \dfrac{\left(x + 2\right)^2}{11} = 1 \)

Para obtener más información sobre la cónica, consulta la calculadora de hipérbolas.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ -x^2 + y^2 - 4x + 6y - 6 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = -1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -4 \quad E = 6 \quad F = -6 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(-1)(1) = 4 $$

Dado que Δ > 0, la ecuación corresponde a una hipérbola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(-1)(1)(-6) - 2(-1)(6)^2 - 2(0)^2(-6) + 2(0)(-4)(6) - 2(1)(-4)^2 \\[0.5em] \delta = 88 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo hipérbola obtenida del análisis de su ecuación general.
Gráfica de la hipérbola
Clasificar la cónica cuya ecuación general es \( 5x^2+4xy+2y^2-24=0. \)

Análisis de la ecuación


Clasificación: Elipse no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 24 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 5 \quad B = 4 \quad C = 2 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -24 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la cónica presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (4)^2 - 4(5)(2) = -24 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(5)(2)(-24) - 2(5)(0)^2 - 2(4)^2(-24) + 2(4)(0)(0) - 2(2)(0)^2 \\[0.5em] \delta = -1152 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

3. Análisis de existencia.

Para comprobar si la ecuación corresponde a una elipse real o imaginaria, utilizamos el invariante de la traza:

$$ A + C = 5 + 2 = 7 $$

Dado que el signo de A + C es distinto al signo de δ, la ecuación corresponde a una elipse real.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo elipse rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de invariantes de su ecuación general de segundo grado.
Gráfica de la elipse rotada
Dada la ecuación de segundo grado \( xy=4 \), determinar de qué tipo de cónica se trata.

Análisis de la ecuación


Clasificación: Hipérbola no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ xy - 4 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 0 \quad B = 1 \quad C = 0 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = -4 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la hipérbola presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (1)^2 - 4(0)(0) = 1 $$

Dado que Δ > 0, la ecuación corresponde a una hipérbola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(0)(0)(-4) - 2(0)(0)^2 - 2(1)^2(-4) + 2(1)(0)(0) - 2(0)(0)^2 \\[0.5em] \delta = 8 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo hipérbola rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado e invariantes.
Gráfica de la hipérbola rotada
Analizar la ecuación \( x^2-2xy+y^2-8x=0 \) y hallar qué tipo de cónica representa.

Análisis de la ecuación


Clasificación: Parábola no degenerada.

Orientación: Rotada respecto a los ejes cartesianos.

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 - 2xy + y^2 - 8x = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = -2 \quad C = 1 \\[0.5em] D = -8 \quad E = 0 \quad F = 0 $$

Dado que B ≠ 0, el eje principal de la parábola presenta una rotación respecto a los ejes cartesianos.

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 0 $$

Dado que Δ = 0, la ecuación corresponde a una parábola general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(0) - 2(1)(0)^2 - 2(-2)^2(0) + 2(-2)(-8)(0) - 2(1)(-8)^2 \\[0.5em] \delta = -128 $$

Dado que δ ≠ 0, la ecuación no corresponde a un caso degenerado.

Gráfico en el plano cartesiano de una cónica de tipo parábola rotada respecto a los ejes cartesianos, obtenida del análisis de su ecuación general de segundo grado e invariantes.
Gráfica de la parábola rotada
Determinar la cónica correspondiente a la ecuación general \( x^2+y^2=0 \) y si se trata de un caso degenerado o no.

Análisis de la ecuación


Clasificación: Elipse degenerada (un punto real).

Resolución paso a paso

1. Análisis del tipo de cónica.

La ecuación dada es:

$$ x^2 + y^2 = 0 $$

La ecuación general de una cónica es:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

Comparando, extraemos los coeficientes:

$$ A = 1 \quad B = 0 \quad C = 1 \\[0.5em] D = 0 \quad E = 0 \quad F = 0 $$

Utilizamos el discriminante para analizar el tipo de cónica:

$$ \Delta = B^2 - 4AC \\[0.5em] \Delta = 0 - 4(1)(1) = -4 $$

Dado que Δ < 0, la ecuación corresponde a una elipse general.

2. Análisis del determinante.

Para comprobar si la ecuación corresponde a un caso degenerado, calculamos el siguiente determinante:

$$ \delta = \begin{vmatrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{vmatrix} \\[0.5em] \delta = 8ACF - 2AE^2 - 2B^2F + 2BDE - 2CD^2 \\[0.5em] \delta = 8(1)(1)(0) - 2(1)(0)^2 - 2(0)^2(0) + 2(0)(0)(0) - 2(1)(0)^2 \\[0.5em] \delta = 0 $$

Dado que δ = 0, la ecuación corresponde a un caso degenerado. En este caso, la elipse es solo un punto.

Herramientas relacionadas

Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 meses)