Calculadora para completar cuadrados

Introduce una expresión cuadrática de una o dos variables (x, y) para completar el cuadrado y ver el procedimiento paso a paso.

Ejemplos Rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online para completar cuadrados es una herramienta algebraica diseñada para transformar cualquier expresión cuadrática, ya sea que tenga una o dos variables (x e y). Además de entregarte el resultado final exacto, el sistema genera el desarrollo analítico paso a paso para ayudarte a comprender el procedimiento matemático subyacente.

El uso de la herramienta es sencillo:

  1. Ingreso de la expresión: escribe tu expresión polinómica (por ejemplo, 2x2 + 3x + 5) en la caja de texto. No es necesario que la expresión esté ordenada o simplificada previamente; el motor algebraico se encargará de agrupar los términos semejantes de forma automática. El sistema es flexible y admite todo tipo de coeficientes: números enteros, decimales, fracciones (racionales) y valores irracionales (como raíces).
  2. Resultado principal: al procesar tu entrada, la herramienta mostrará un recuadro destacado con la expresión equivalente tras haber hecho la completación del cuadrado. La calculadora trabaja con exactitud total; esto significa que respetará y conservará las fracciones y las raíces en su forma simbólica original, evitando cualquier pérdida de información por redondeos decimales.
  3. Resolución paso a paso: justo debajo de la respuesta directa, se desplegará la explicación detallada del ejercicio. Podrás observar cómo se agrupan los términos, cómo se calcula y agrega (sumando y restando) el valor específico necesario para construir un trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, el desarrollo te mostrará cómo se factoriza ese trinomio para reescribirlo como un binomio al cuadrado y cómo se simplifican las constantes independientes restantes hasta llegar a la expresión final.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Completar los cuadrados en la expresión x2 + 6x + 5.

Resultado

$$ \left(x + 3\right)^2 - 4 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la expresión.

La expresión con la que trabajaremos es:

$$ x^2 + 6x + 5 $$

2. Preparar para completar el cuadrado.

Buscamos reescribir la expresión formando un trinomio cuadrado perfecto. Para lograrlo, tomamos la mitad del coeficiente del término lineal, lo elevamos al cuadrado, y sumamos y restamos ese valor para no alterar la expresión original:

$$ x^2 + 6x + \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 + 5 \\[1.5em] x^2 + 6x + \left(3\right)^2 - \left(3\right)^2 + 5 \\[1.5em] x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 $$

3. Factorizar y simplificar.

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman el trinomio cuadrado perfecto \( x^2 \pm 2ax + a^2 \), y los reescribimos como un binomio al cuadrado \( (x \pm a)^2 \).

$$ \left(x^2 + 6x + 9\right) - 9 + 5 \\[1.5em] \left(x^2 + 2(3)x + \left(3\right)^2\right) - 9 + 5 \\[1.5em] \left(x + 3\right)^2 - 9 + 5 $$

Simplificamos los términos constantes:

$$ \left(x + 3\right)^2 - 4 $$
Realizar la completación de cuadrados de 2x2 + 3x + 6.

Resultado

$$ 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{39}{8} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la expresión.

La expresión con la que trabajaremos es:

$$ 2x^2 + 3x + 6 $$

2. Extraer factor común.

Extraemos el coeficiente principal como factor común, aplicándolo únicamente a los términos que contienen la variable. Mantenemos el término independiente fuera del paréntesis:

$$ 2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x \right) + 6 $$

3. Preparar para completar el cuadrado.

Buscamos reescribir la expresión formando un trinomio cuadrado perfecto. Para lograrlo, tomamos la mitad del coeficiente del término lineal, lo elevamos al cuadrado, y sumamos y restamos ese valor para no alterar la expresión original:

$$ 2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x + \left(\dfrac{\frac{3}{2}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\frac{3}{2}}{2}\right)^2 \right) + 6 \\[1.5em] 2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \right) + 6 \\[1.5em] 2\left( x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} - \dfrac{9}{16} \right) + 6 $$

4. Factorizar y simplificar.

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman el trinomio cuadrado perfecto \( x^2 \pm 2ax + a^2 \), y los reescribimos como un binomio al cuadrado \( (x \pm a)^2 \).

$$ 2\left( \left(x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16}\right) - \dfrac{9}{16} \right) + 6 \\[1.5em] 2\left( \left(x^2 + 2\left(\dfrac{3}{4}\right)x + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right) - \dfrac{9}{16} \right) + 6 \\[1.5em] 2\left( \left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{9}{16} \right) + 6 $$

5. Distribuir y simplificar.

Distribuimos el factor que está fuera del paréntesis y simplificamos:

$$ 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - 2\left(\dfrac{9}{16}\right) + 6 \\[1.5em] 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{9}{8} + 6 \\[1.5em] 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{39}{8} $$
Completar el trinomio cuadrado perfecto en la expresión -5x2 + 4x - 8.

Resultado

$$ -5\left(x - \dfrac{2}{5}\right)^2 - \dfrac{36}{5} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la expresión.

La expresión con la que trabajaremos es:

$$ -5x^2 + 4x - 8 $$

2. Extraer factor común.

Extraemos el coeficiente principal como factor común, aplicándolo únicamente a los términos que contienen la variable. Mantenemos el término independiente fuera del paréntesis:

$$ -5\left( x^2 - \dfrac{4}{5}x \right) - 8 $$

3. Preparar para completar el cuadrado.

Buscamos reescribir la expresión formando un trinomio cuadrado perfecto. Para lograrlo, tomamos la mitad del coeficiente del término lineal, lo elevamos al cuadrado, y sumamos y restamos ese valor para no alterar la expresión original:

$$ -5\left( x^2 - \dfrac{4}{5}x + \left(\dfrac{\frac{4}{5}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\frac{4}{5}}{2}\right)^2 \right) - 8 \\[1.5em] -5\left( x^2 - \dfrac{4}{5}x + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \right) - 8 \\[1.5em] -5\left( x^2 - \dfrac{4}{5}x + \dfrac{4}{25} - \dfrac{4}{25} \right) - 8 $$

4. Factorizar y simplificar.

Agrupamos los primeros tres términos, que ahora forman el trinomio cuadrado perfecto \( x^2 \pm 2ax + a^2 \), y los reescribimos como un binomio al cuadrado \( (x \pm a)^2 \).

$$ -5\left( \left(x^2 - \dfrac{4}{5}x + \dfrac{4}{25}\right) - \dfrac{4}{25} \right) - 8 \\[1.5em] -5\left( \left(x^2 - 2\left(\dfrac{2}{5}\right)x + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right) - \dfrac{4}{25} \right) - 8 \\[1.5em] -5\left( \left(x - \dfrac{2}{5}\right)^2 - \dfrac{4}{25} \right) - 8 $$

5. Distribuir y simplificar.

Distribuimos el factor que está fuera del paréntesis y simplificamos:

$$ -5\left(x - \dfrac{2}{5}\right)^2 + 5\left(\dfrac{4}{25}\right) - 8 \\[1.5em] -5\left(x - \dfrac{2}{5}\right)^2 + \dfrac{4}{5} - 8 \\[1.5em] -5\left(x - \dfrac{2}{5}\right)^2 - \dfrac{36}{5} $$
Reescribir completando los cuadrados en la fórmula con dos variables x2 + y2 - 4x + 6y - 12.

Resultado

$$ \left(x - 2\right)^2 + \left(y + 3\right)^2 - 25 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la expresión.

La expresión con la que trabajaremos es:

$$ x^2 - 4x + y^2 + 6y - 12 $$

2. Identificar y agrupar por variables.

La expresión contiene múltiples variables. Agrupamos los términos correspondientes a cada variable entre paréntesis para trabajarlos de forma independiente:

$$ \left( x^2 - 4x \right) + \left( y^2 + 6y \right) - 12 $$

3. Preparar para completar los cuadrados.

Buscamos reescribir cada grupo formando trinomios cuadrados perfectos. Para lograrlo, tomamos la mitad del coeficiente de cada término lineal, lo elevamos al cuadrado, y sumamos y restamos ese valor dentro de su respectivo grupo para no alterar la expresión original:

$$ \left( x^2 - 4x + \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 \right) + \left( y^2 + 6y + \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 \right) - 12 \\[1.5em] \left( x^2 - 4x + \left(2\right)^2 - \left(2\right)^2 \right) + \left( y^2 + 6y + \left(3\right)^2 - \left(3\right)^2 \right) - 12 \\[1.5em] \left( x^2 - 4x + 4 - 4 \right) + \left( y^2 + 6y + 9 - 9 \right) - 12 $$

4. Factorizar los grupos.

Agrupamos los primeros tres términos de cada variable, que ahora forman trinomios cuadrados perfectos \( v^2 \pm 2av + a^2 \), y los reescribimos como binomios al cuadrado \( (v \pm a)^2 \).

$$ \left( \left(x^2 - 4x + 4\right) - 4 \right) + \left( \left(y^2 + 6y + 9\right) - 9 \right) - 12 \\[1.5em] \left( \left(x^2 - 2(2)x + \left(2\right)^2\right) - 4 \right) + \left( \left(y^2 + 2(3)y + \left(3\right)^2\right) - 9 \right) - 12 \\[1.5em] \left( \left(x - 2\right)^2 - 4 \right) + \left( \left(y + 3\right)^2 - 9 \right) - 12 $$

5. Simplificar.

Eliminamos los paréntesis de agrupación externos y sumamos los términos constantes restantes:

$$ \left(x - 2\right)^2 - 4 + \left(y + 3\right)^2 - 9 - 12 \\[1.5em] \left(x - 2\right)^2 + \left(y + 3\right)^2 - 25 $$

Herramientas relacionadas

Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 1 semana)