Calculadora de ecuaciones cuadráticas

Introduce una ecuación de segundo grado para obtener sus soluciones (reales o complejas), el procedimiento paso a paso y su gráfico cartesiano.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de ecuaciones cuadráticas es una herramienta algebraica que procesa tu expresión, la simplifica automáticamente, genera la resolución paso a paso y grafica la parábola resultante. Está diseñada para trabajar tanto con números reales como con raíces complejas.

Cómo ingresar tu ecuación:

  • Ingresa tu ecuación tal como aparece en tu problema. No es necesario que esté simplificada; puedes escribir términos en ambos lados de la igualdad (por ejemplo, 2x2 = 8 - 6x). El motor la agrupará y ordenará a su forma general ax2 + bx + c = 0 automáticamente.
  • La calculadora admite coeficientes enteros, decimales, fracciones y números irracionales. Se mantendrán los valores simbólicos (como fracciones o raíces) durante todo el proceso para evitar errores de redondeo.

Una vez que introduzcas la expresión, el sistema analizará los coeficientes para generar un desarrollo paso a paso utilizando el método matemático más eficiente:

  1. Ecuaciones incompletas sin término lineal (b = 0): te mostrará cómo despejar la incógnita cuadrática y aplicar la raíz cuadrada en ambos miembros.
  2. Ecuaciones incompletas sin término independiente (c = 0): el procedimiento extraerá la variable x como factor común y aplicará la propiedad del producto nulo para despejar ambas raíces mediante ecuaciones lineales simples.
  3. Ecuaciones completas: el sistema identificará los coeficientes a, b y c para sustituirlos en la fórmula general (resolvente). Durante el proceso, aislará el valor del discriminante (Δ) para indicarte de forma analítica si la ecuación posee dos raíces reales distintas, una única raíz doble, o soluciones complejas conjugadas.

Resultados y representación gráfica

Al final del procedimiento, la calculadora te entregará el valor exacto de las soluciones junto con su aproximación decimal, si es necesaria. Si las raíces pertenecen al conjunto de los números reales, también obtendrás la forma factorizada de la ecuación. Además, se generará el gráfico cartesiano de la parábola para que puedas visualizar los puntos donde esta corta al eje x (si existen), que corresponden a las soluciones de la ecuación cuadrática.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas por la calculadora.

Resolver la ecuación cuadrática x2 - 5x + 6 = 0

Resultado

La ecuación tiene dos raíces reales distintas:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 2 \\[1.5em] x_{2} = 3 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \left(x-2\right)\left(x-3\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver en su forma generalizada es:

$$ x^{2}-5 x+6 = 0 $$

2. Identificar los coeficientes.

Dado que la ecuación está completa, identificamos los coeficientes comparando con la forma ax2 + bx + c = 0:

$$ \begin{array}{l} a = 1 \\[1.2em] b = -5 \\[1.2em] c = 6 \end{array} $$

3. Aplicar la fórmula general.

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula resolvente (también llamada general o de Bhaskara):

$$ \begin{array}{c} x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[2.5em] x = \dfrac{-\,(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \end{array} $$

Resolvemos las operaciones iniciales para simplificar la expresión:

$$ x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} $$

El radicando de la raíz cuadrada es conocido como el discriminante (Δ) de la ecuación. En este caso, al ser mayor que cero, nos indica que la ecuación tiene dos raíces reales distintas. Continuamos desarrollando para obtener las soluciones:

$$ x = \dfrac{5 + 1}{2} \quad \text{o} \quad x = \dfrac{5 - 1}{2} $$

Por lo tanto, las soluciones son:

$$ \begin{array}{l} x = 2 \\[1.5em] x = 3 \end{array} $$

En el gráfico cartesiano podemos observar que la parábola corta al eje x en dos puntos distintos, los cuales corresponden a las dos raíces reales halladas.

Gráfico en el plano cartesiano de la parábola cortando al eje x en dos puntos, las soluciones de la ecuación cuadrática. Ejemplo 1.
Gráfico en el plano cartesiano
Encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado x2 - 9 = 0

Resultado

La ecuación tiene dos raíces reales distintas:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 3 \\[1.5em] x_{2} = -3 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \left(x-3\right)\left(x+3\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver en su forma generalizada es:

$$ x^{2}-9 = 0 $$

2. Despejar la incógnita cuadrática.

Dado que el término lineal es nulo, despejamos directamente el término cuadrático y aplicamos la raíz cuadrada en ambos miembros:

$$ x^2 = 9 \quad \rightarrow \quad x = \pm \sqrt{9} $$

Por lo tanto, las soluciones son:

$$ \begin{array}{l} x = 3 \\[1.5em] x = -3 \end{array} $$

En el gráfico cartesiano podemos observar que la parábola corta al eje x en dos puntos distintos, los cuales corresponden a las dos raíces reales halladas.

Gráfico en el plano cartesiano de la parábola cortando al eje x en dos puntos, las soluciones de la ecuación cuadrática. Ejemplo 2.
Gráfico en el plano cartesiano
Determinar las soluciones de la ecuación -2x2 + 4x = 0

Resultado

La ecuación tiene dos raíces reales distintas:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = 0 \\[1.5em] x_{2} = 2 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ -2x\left(x-2\right) = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver en su forma generalizada es:

$$ -2 x^{2}+4 x = 0 $$

2. Extraer factor común.

Dado que no hay término independiente, extraemos la variable de menor grado como factor común y nos queda un producto igualado a cero:

$$ x\left(-2 x+4\right) = 0 $$

Para que un producto sea igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser nulo. Igualamos cada factor a cero:

$$ x = 0 \quad \text{o} \quad -2 x+4 = 0 $$

La primera solución es directamente x = 0. Para la segunda, resolvemos la ecuación lineal resultante:

$$ \begin{array}{l} -2 x+4 = 0 \\[0.8em] -2 x = -4 \\[0.8em] x = 2 \end{array} $$

Por lo tanto, las soluciones son:

$$ \begin{array}{l} x = 0 \\[1.5em] x = 2 \end{array} $$

En el gráfico cartesiano podemos observar que la parábola corta al eje x en dos puntos distintos, los cuales corresponden a las dos raíces reales halladas.

Gráfico en el plano cartesiano de la parábola que abre hacia abajo cortando al eje x en dos puntos, las soluciones de la ecuación cuadrática. Ejemplo 3.
Gráfica en el plano cartesiano
Calcular los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación x2 + x + 1 = 0

Resultado

La ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas:

$$ \begin{array}{l} x_{1} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \approx -0.5 + 0.87i \\[1.5em] x_{2} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \approx -0.5 - 0.87i \end{array} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver en su forma generalizada es:

$$ x^{2}+x+1 = 0 $$

2. Identificar los coeficientes.

Dado que la ecuación está completa, identificamos los coeficientes comparando con la forma ax2 + bx + c = 0:

$$ \begin{array}{l} a = 1 \\[1.2em] b = 1 \\[1.2em] c = 1 \end{array} $$

3. Aplicar la fórmula general.

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula resolvente (también llamada general o de Bhaskara):

$$ \begin{array}{c} x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[2.5em] x = \dfrac{-\,(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \end{array} $$

Resolvemos las operaciones iniciales para simplificar la expresión:

$$ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} $$

El radicando de la raíz cuadrada es conocido como el discriminante (Δ) de la ecuación. En este caso, al ser menor que cero, nos indica que la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas. Continuamos desarrollando para obtener las soluciones:

$$ x = \dfrac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \quad \text{o} \quad x = \dfrac{-1 - \sqrt{3} i}{2} $$

Por lo tanto, las soluciones son:

$$ \begin{array}{l} x = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \approx -0.5 + 0.87i \\[1.5em] x = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \approx -0.5 - 0.87i \end{array} $$

En el gráfico cartesiano podemos observar que la parábola no interseca al eje x en ningún punto, lo que confirma gráficamente que las soluciones de la ecuación no son reales, sino complejas.

Gráfico en el plano cartesiano de la parábola que no corta al eje x porque sus raíces son números complejos. Ejemplo 4.
Gráfica en el plano cartesiano
Calcular la o las soluciones de la ecuación x2 - 4x + 4 = 0

Resultado

La ecuación tiene una raíz real de multiplicidad doble:

$$ \begin{array}{l} x = 2 \end{array} $$

Forma factorizada de la ecuación:

$$ \left(x-2\right)^{2} = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación.

La ecuación a resolver en su forma generalizada es:

$$ x^{2}-4 x+4 = 0 $$

2. Identificar los coeficientes.

Dado que la ecuación está completa, identificamos los coeficientes comparando con la forma ax2 + bx + c = 0:

$$ \begin{array}{l} a = 1 \\[1.2em] b = -4 \\[1.2em] c = 4 \end{array} $$

3. Aplicar la fórmula general.

Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula resolvente (también llamada general o de Bhaskara):

$$ \begin{array}{c} x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[2.5em] x = \dfrac{-\,(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \end{array} $$

Resolvemos las operaciones iniciales para simplificar la expresión:

$$ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{0}}{2} $$

El radicando de la raíz cuadrada es conocido como el discriminante (Δ) de la ecuación. En este caso, al ser igual a cero, nos indica que la ecuación tiene una única raíz real doble. Continuamos desarrollando para obtener la solución:

$$ x = \dfrac{4 \pm 0}{2} $$

Por lo tanto, la solución es:

$$ \begin{array}{l} x = 2 \end{array} $$

En el gráfico cartesiano podemos observar que la parábola es tangente al eje x (lo toca en un único punto), lo que indica gráficamente que existe una única raíz real (raíz doble).

Gráfico en el plano cartesiano de la parábola que abre hacia arriba y toca al eje x en un solo punto. Ejemplo 5
Gráfico en el plano cartesiano

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 4 días)