Calculadora de los focos de una elipse

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de los focos de una elipse es una herramienta analítica diseñada para encontrar exactamente dónde se ubican las coordenadas focales a partir de la ecuación de la curva. Además del resultado, el sistema genera la resolución analítica paso a paso y grafica la figura en el plano cartesiano.

Cómo ingresar tu ecuación:

• Libertad de formato: utiliza el campo matemático principal para introducir tu ecuación. El motor algebraico es flexible y no requiere un orden específico. Puedes ingresar la ecuación canónica (u ordinaria), la ecuación general igualada a cero (ej. 9x² + 4y² - 18x + 16y - 11 = 0), o expresiones completamente desordenadas y sin simplificar.
• Formatos numéricos soportados: la calculadora admite coeficientes enteros, números decimales, fracciones exactas y raíces irracionales. Estos valores se conservan de forma simbólica a lo largo del procedimiento para garantizar que no existan errores de redondeo.

Una vez procesada la información, la herramienta generará un reporte detallado siguiendo este orden lógico:

1. Identificación de parámetros: si proporcionas una ecuación general, el algoritmo completará los cuadrados automáticamente mostrándote la conversión a su forma canónica. Desde allí, el sistema extraerá las coordenadas del centro C(h, k), los valores de a² y b², y deducirá la orientación de la elipse (horizontal o vertical).
2. Cálculo de la semidistancia focal (c): empleando la relación fundamental geométrica c² = a² - b², la calculadora despejará la distancia exacta desde el centro hasta los focos. Si la raíz es irracional, se entregará tanto el valor exacto como su aproximación decimal.
3. Coordenadas de los focos: dependiendo de la orientación de la cónica, el sistema sumará y restará analíticamente la distancia c a la coordenada x (si es horizontal) o a la coordenada y (si es vertical) del centro, entregando los puntos exactos F₁ y F₂.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular los focos de la elipse en forma canónica \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1. \)

Resultado

Los focos de la elipse dada son:

$$ \begin{array}{c} F_1 \left(-4, 0\right) \\[1.2em] F_2 \left(4, 0\right)\end{array} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus parámetros

La ecuación a trabajar es:

$$ \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1 $$

Extraemos las coordenadas del centro C(h, k) y los denominadores. El denominador mayor corresponde a a², y la variable del término en que aparece nos indica la orientación geométrica de la elipse. Por lo tanto:

$$ \begin{array}{c} C \left(0, 0\right) \\[1.2em] a^2 = 25 \\[1.2em] b^2 = 9 \\[1.2em] \text{Orientación: horizontal} \end{array} $$

2. Calcular la semidistancia focal (c)

Utilizamos la relación fundamental de la elipse para hallar el valor de la semidistancia focal:

$$ \begin{array}{l} c^2 = a^2 - b^2 \\[1.2em] c = \sqrt{25 - 9} \\[1.2em] c = \sqrt{16} \\[1.2em] c = 4 \end{array} $$

3. Determinar las coordenadas de los focos

Dado que la elipse es horizontal, sus focos se obtienen sumando y restando el valor de c a la coordenada x del centro (h).

$$ \begin{array}{l} F_1(h - c, k) \Rightarrow F_1\left(0 - 4, 0\right) \Rightarrow F_1 \left(-4, 0\right) \\[1.2em] F_2(h + c, k) \Rightarrow F_2\left(0 + 4, 0\right) \Rightarrow F_2 \left(4, 0\right) \end{array} $$

Obtener las coordenadas de los focos de la elipse \( \dfrac{(x+1)^2}{4}+\dfrac{(y-5)^2}{16}=1. \)

Resultado

Los focos de la elipse dada son:

$$ \begin{array}{c} F_1 \left(-1, 5 - 2 \sqrt{3}\right) \approx \left(-1, 1.54\right) \\[1.2em] F_2 \left(-1, 5 + 2 \sqrt{3}\right) \approx \left(-1, 8.46\right)\end{array} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus parámetros

La ecuación a trabajar es:

$$ \dfrac{(x+1)^2}{4} + \dfrac{(y-5)^2}{16} = 1 $$

Extraemos las coordenadas del centro C(h, k) y los denominadores. El denominador mayor corresponde a a², y la variable del término en que aparece nos indica la orientación geométrica de la elipse. Por lo tanto:

$$ \begin{array}{c} C \left(-1, 5\right) \\[1.2em] a^2 = 16 \\[1.2em] b^2 = 4 \\[1.2em] \text{Orientación: vertical} \end{array} $$

2. Calcular la semidistancia focal (c)

Utilizamos la relación fundamental de la elipse para hallar el valor de la semidistancia focal:

$$ \begin{array}{l} c^2 = a^2 - b^2 \\[1.2em] c = \sqrt{16 - 4} \\[1.2em] c = \sqrt{12} \\[1.2em] c = 2 \sqrt{3} \approx 3.46 \end{array} $$

3. Determinar las coordenadas de los focos

Dado que la elipse es vertical, sus focos se obtienen sumando y restando el valor de c a la coordenada y del centro (k).

$$ \begin{array}{l} F_1(h, k - c) \Rightarrow F_1\left(-1, 5 - 2 \sqrt{3}\right) \approx \left(-1, 1.54\right) \\[1.2em] F_2(h, k + c) \Rightarrow F_2\left(-1, 5 + 2 \sqrt{3}\right) \approx \left(-1, 8.46\right) \end{array} $$

Determinar la ubicación de los focos de la elipse en forma general \( 4x^2+9y^2-16x-18y-11=0. \)

Resultado

Los focos de la elipse dada son:

$$ \begin{array}{c} F_1 \left(2 - \sqrt{5}, 1\right) \approx \left(-0.24, 1\right) \\[1.2em] F_2 \left(2 + \sqrt{5}, 1\right) \approx \left(4.24, 1\right)\end{array} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar la ecuación y sus parámetros

La ecuación a trabajar es:

$$ 4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y - 11 = 0 $$

Para poder extraer los parámetros de la elipse, convertimos la ecuación a su forma canónica, completando cuadrados si es necesario:

$$ \dfrac{\left(x - 2\right)^2}{9} + \dfrac{\left(y - 1\right)^2}{4} = 1 $$

Extraemos las coordenadas del centro C(h, k) y los denominadores. El denominador mayor corresponde a a², y la variable del término en que aparece nos indica la orientación geométrica de la elipse. Por lo tanto:

$$ \begin{array}{c} C \left(2, 1\right) \\[1.2em] a^2 = 9 \\[1.2em] b^2 = 4 \\[1.2em] \text{Orientación: horizontal} \end{array} $$

2. Calcular la semidistancia focal (c)

Utilizamos la relación fundamental de la elipse para hallar el valor de la semidistancia focal:

$$ \begin{array}{l} c^2 = a^2 - b^2 \\[1.2em] c = \sqrt{9 - 4} \\[1.2em] c = \sqrt{5} \approx 2.24 \end{array} $$

3. Determinar las coordenadas de los focos

Dado que la elipse es horizontal, sus focos se obtienen sumando y restando el valor de c a la coordenada x del centro (h).

$$ \begin{array}{l} F_1(h - c, k) \Rightarrow F_1\left(2 - \sqrt{5}, 1\right) \approx \left(-0.24, 1\right) \\[1.2em] F_2(h + c, k) \Rightarrow F_2\left(2 + \sqrt{5}, 1\right) \approx \left(4.24, 1\right) \end{array} $$

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