Calculadora de ángulo entre vectores

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de ángulo entre dos vectores es una herramienta geométrica y algebraica que te permite hallar la amplitud angular que se forma al posicionar dos vectores desde un mismo origen. Preparada para trabajar en el plano cartesiano (R²) y en el espacio (R³), el sistema te entregará el valor directo, el desarrollo matemático completo y una visualización gráfica de tu problema.

Cómo ingresar tus datos:

1. Selecciona la dimensión: utiliza el menú principal para definir si tu ejercicio ocurre en dos dimensiones (ejes x, y) o en tres dimensiones (ejes x, y, z).
2. Introduce las componentes: completa los campos de texto con las componentes rectangulares de cada vector. La herramienta admite el uso de números enteros, decimales y fracciones exactas.

Resultados:

Al procesar los valores, el algoritmo estructurará la respuesta en tres secciones para facilitar la comprensión del cálculo analítico:

• Respuesta principal: en un recuadro destacado obtendrás la solución directa de tu ejercicio. La calculadora mostrará la medida del ángulo expresada simultáneamente en grados sexagesimales y en radianes, para que utilices el formato que requiera tu tarea.
• Resolución paso a paso: debajo de la respuesta, se desplegará todo el procedimiento necesario para llegar al ángulo. Primero, el motor calculará el producto punto (o producto escalar) entre ambos vectores. Luego, se calcularán los módulos (magnitudes) individuales de cada vector. Finalmente, verás cómo se usa fórmula trigonométrica clásica cos(θ) = (a · b) / (|a| · |b|) a través del arcocoseno para despejar el ángulo.
• Gráfico interactivo: para los problemas configurados en R², la parte inferior incluirá un plano cartesiano interactivo. En esta representación podrás observar ambos vectores trazados desde el origen coordenado (0,0) y un arco visual remarcando la apertura angular entre ellos, lo que te permitirá comprobar la coherencia geométrica de los resultados.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Hallar el ángulo entre los vectores \(\vec{a}=\langle 3, 4\rangle\) y \(\vec{b}=\langle 12, 5\rangle.\)

Resultado

El ángulo entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \theta \approx 30.51^\circ \quad \text{|} \quad \displaystyle \theta \approx 0.5325 \text{ rad} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 3, 4 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 12, 5 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

Determinamos el producto punto entre los vectores (para ver el paso a paso detallado, consulta la calculadora de producto punto):

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(12) + (4)(5) = 56 $$

3. Calcular el módulo de cada vector.

Obtenemos la magnitud de ambos vectores (para ver el paso a paso, consulta la calculadora de magnitud de un vector):

$$ \displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{25} = 5 \\[1em] |\vec{b}| = \sqrt{(12)^2 + (5)^2} = \sqrt{169} = 13 $$

4. Calcular el ángulo entre los vectores.

Podemos obtener el ángulo entre dos vectores usando la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right) $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{56}{(5)(13)}\right) \\[1em] \theta = \arccos\left(\frac{56}{65}\right) \approx 30.51^\circ $$

Calcular el ángulo entre los dos vectores \(\vec{a}=\langle 1, 1 \rangle\) y \(\vec{b}=\langle -1, 1\rangle.\)

Resultado

El ángulo entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \theta = 90^\circ \quad \text{|} \quad \displaystyle \theta \approx 1.5708 \text{ rad} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1, 1 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -1, 1 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

Determinamos el producto punto entre los vectores:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (1)(1) = 0 $$

3. Calcular el módulo de cada vector.

Obtenemos la magnitud de ambos vectores:

$$ \displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \\[1em] |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} $$

4. Calcular el ángulo entre los vectores.

Podemos obtener el ángulo entre dos vectores usando la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right) $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{0}{(\sqrt{2})(\sqrt{2})}\right) \\[1em] \theta = \arccos\left(\frac{0}{2}\right) = 90^\circ $$

Encontrar en ángulo formado entre los vectores \(\langle -3, -4\rangle\) y \(\langle -5, 12\rangle.\)

Resultado

El ángulo entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \theta \approx 120.51^\circ \quad \text{|} \quad \displaystyle \theta \approx 2.1033 \text{ rad} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -3, -4 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -5, 12 \rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

Determinamos el producto punto entre los vectores:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-5) + (-4)(12) = -33 $$

3. Calcular el módulo de cada vector.

Obtenemos la magnitud de ambos vectores:

$$ \displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5 \\[1em] |\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{169} = 13 $$

4. Calcular el ángulo entre los vectores.

Podemos obtener el ángulo entre dos vectores usando la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right) $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{-33}{(5)(13)}\right) \\[1em] \theta = \arccos\left(\frac{-33}{65}\right) \approx 120.51^\circ $$

Hallar el ángulo entre los vectores con componentes decimales \(\vec{a}=\langle 1.5, 2.5\rangle\) y \(\vec{b}=\langle-0.5, 3.2\rangle.\)

Resultado

El ángulo entre los vectores dados es:

$$ \displaystyle \theta \approx 39.84^\circ \quad \text{|} \quad \displaystyle \theta \approx 0.6954 \text{ rad} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1.5, 2.5 \rangle = \left\langle \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -0.5, 3.2 \rangle = \left\langle -\frac{1}{2}, \frac{16}{5} \right\rangle $$

2. Calcular el producto escalar.

Determinamos el producto punto entre los vectores:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{16}{5}\right) = \frac{29}{4} $$

3. Calcular el módulo de cada vector.

Obtenemos la magnitud de ambos vectores:

$$ \displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}} \\[1em] |\vec{b}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{1049}{100}} = \frac{\sqrt{1049}}{10} $$

4. Calcular el ángulo entre los vectores.

Podemos obtener el ángulo entre dos vectores usando la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right) $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \theta = \arccos\left(\frac{\frac{29}{4}}{(\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}})(\frac{\sqrt{1049}}{10})}\right) \\[1em] \theta = \arccos\left(\frac{\frac{29}{4}}{\frac{\sqrt{17} \sqrt{1049}}{10 \sqrt{2}}}\right) \approx 39.84^\circ $$

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