Calculadora de producto cruz de vectores

Introduce las componentes de los vectores para calcular su producto cruz (a × b) y ver la resolución paso a paso.

Vector a

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Vector b

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Ejemplos rápidos

Califica esta herramienta

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de producto cruz (también conocido como producto vectorial) es una herramienta matemática avanzada diseñada para operar con vectores en el espacio tridimensional. A diferencia del producto punto, esta operación genera un nuevo vector que es ortogonal (perpendicular) a los dos originales.

Cómo ingresar tus datos:

Entrada directa en R³: introduce las tres componentes rectangulares (x, y, z) para cada uno de los vectores.
Formatos numéricos soportados: los campos de entrada son flexibles, puedes utilizar números enteros, decimales, fracciones exactas e incluso números irracionales (como raíces cuadradas). El motor algebraico procesará estos valores de forma simbólica para garantizar que no existan errores de redondeo durante el cálculo.

Estructura de los resultados:

Al procesar tu ejercicio, la herramienta te brinda una solución analítica, dividida en dos bloques principales:

Respuesta rápida y notaciones: en el recuadro destacado superior visualizarás la respuesta de tu problema. La calculadora te mostrará el nuevo vector resultante expresado de dos maneras convencionales: en forma de componentes (x, y, z) y mediante la combinación lineal de vectores unitarios canónicos (i, j, k). Adicionalmente, esta caja te entregará el valor del módulo (magnitud) del vector resultante.
Resolución paso a paso: en la sección inferior encontrarás el desglose completo del método empleado. El algoritmo te mostrará cómo se arma el determinante de una matriz 3x3, colocando los vectores unitarios i, j y k en la primera fila, y las componentes de tus vectores en las filas inferiores. Luego, verás la expansión por cofactores (resolviendo los subdeterminantes 2x2 para cada término), reduciendo las expresiones término a término hasta ensamblar el vector final.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular el producto cruz de los vectores $\vec{a}=\langle 3, -2, 4\rangle$ y $\vec{b}=\langle 1, 5, -3\rangle.$

Resultado

El producto cruz (vectorial) de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \langle -14, 13, 17 \rangle $$

Notación de vectores unitarios: $$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = -14\hat{i} + 13\hat{j} + 17\hat{k} $$

Módulo del vector resultante: $$ \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{654} \approx 25.57 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 3, -2, 4 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 1, 5, -3 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto vectorial mediante un determinante de 3x3, donde la primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k, y las siguientes filas contienen las componentes de los vectores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.5em] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante respetando su orden (porque el producto vectorial no es conmutativo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.5em] 3 & -2 & 4 \\[0.5em] 1 & 5 & -3 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

Expandimos el determinante principal separando en los componentes unitarios i, j, k acompañados de sus respectivos determinantes menores de 2x2. Recordamos alternar los signos de los términos (positivo, negativo, positivo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\[0.5em] 5 & -3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\[0.5em] 1 & -3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[0.5em] 1 & 5 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos para obtener cada componente por separado.

Primer término (vector i):

$$ \displaystyle \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\[0.5em] 5 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i} [(-2)(-3) - (4)(5)] \\[1em] = \hat{i} [6 - 20] \\[1em] = -14\hat{i} $$

Segundo término (vector j):

Es importante no olvidar el signo negativo en este término.

$$ \displaystyle - \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\[0.5em] 1 & -3 \end{vmatrix} = - \hat{j} [(3)(-3) - (4)(1)] \\[1em] = - \hat{j} [-9 - 4] \\[1em] = 13\hat{j} $$

Tercer término (vector k):

$$ \displaystyle \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[0.5em] 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{k} [(3)(5) - (-2)(1)] \\[1em] = \hat{k} [15 - (-2)] \\[1em] = 17\hat{k} $$

Ensamblar el vector

Ahora que tenemos las tres componentes, podemos armar el vector resultante:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = -14\hat{i} + 13\hat{j} + 17\hat{k} \\[1em] \vec{a} \times \vec{b} = \langle -14, 13, 17 \rangle $$

Hallar el producto vectorial de los vectores $\langle 0, 2, 0\rangle$ y $\langle -4, 0, 1\rangle.$

Resultado

El producto cruz (vectorial) de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \langle 2, 0, 8 \rangle $$

Notación de vectores unitarios: $$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 2\hat{i} + 8\hat{k} $$

Módulo del vector resultante: $$ \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \sqrt{17} \approx 8.25 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 0, 2, 0 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -4, 0, 1 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto vectorial mediante un determinante de 3x3, donde la primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k, y las siguientes filas contienen las componentes de los vectores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.5em] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante respetando su orden (porque el producto vectorial no es conmutativo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.5em] 0 & 2 & 0 \\[0.5em] -4 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] -4 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\[0.5em] -4 & 0 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos para obtener cada componente por separado.

Primer término (vector i):

$$ \displaystyle \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} [(2)(1) - (0)(0)] \\[1em] = \hat{i} [2 - 0] \\[1em] = 2\hat{i} $$

Segundo término (vector j):

Es importante no olvidar el signo negativo en este término.

$$ \displaystyle - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] -4 & 1 \end{vmatrix} = - \hat{j} [(0)(1) - (0)(-4)] \\[1em] = - \hat{j} [0 - 0] \\[1em] = 0\hat{j} $$

Tercer término (vector k):

$$ \displaystyle \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\[0.5em] -4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k} [(0)(0) - (2)(-4)] \\[1em] = \hat{k} [0 - (-8)] \\[1em] = 8\hat{k} $$

Ensamblar el vector

Ahora que tenemos las tres componentes, podemos armar el vector resultante:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 2\hat{i} + 8\hat{k} \\[1em] \vec{a} \times \vec{b} = \langle 2, 0, 8 \rangle $$

Obtener el producto a × b entre los vectores $\vec{a}=\langle 1/2, 3, -1\rangle$ y $\vec{b}=\langle 2, -1/3, 4 \rangle.$

Resultado

El producto cruz (vectorial) de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \left\langle \frac{35}{3}, -4, -\frac{37}{6} \right\rangle \approx \langle 11.67, -4, -6.17 \rangle $$

Notación de vectores unitarios: $$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \frac{35}{3}\hat{i} - 4\hat{j} - \frac{37}{6}\hat{k} $$

Módulo del vector resultante: $$ \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{37 \sqrt{5}}{6} \approx 13.79 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{1}{2}, 3, -1 \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \left\langle 2, -\frac{1}{3}, 4 \right\rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto vectorial mediante un determinante de 3x3, donde la primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k, y las siguientes filas contienen las componentes de los vectores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.5em] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante respetando su orden (porque el producto vectorial no es conmutativo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.5em] \frac{1}{2} & 3 & -1 \\[0.5em] 2 & -\frac{1}{3} & 4 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[0.5em] -\frac{1}{3} & 4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\[0.5em] 2 & 4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 3 \\[0.5em] 2 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos para obtener cada componente por separado.

Primer término (vector i):

$$ \displaystyle \hat{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[0.5em] -\frac{1}{3} & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} \left[(3)(4) - (-1)\left(-\frac{1}{3}\right)\right] \\[1em] = \hat{i} \left[12 - \frac{1}{3}\right] \\[1em] = \frac{35}{3}\hat{i} $$

Segundo término (vector j):

Es importante no olvidar el signo negativo en este término.

$$ \displaystyle - \hat{j} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\[0.5em] 2 & 4 \end{vmatrix} = - \hat{j} \left[\left(\frac{1}{2}\right)(4) - (-1)(2)\right] \\[1em] = - \hat{j} [2 - (-2)] \\[1em] = -4\hat{j} $$

Tercer término (vector k):

$$ \displaystyle \hat{k} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 3 \\[0.5em] 2 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} = \hat{k} \left[\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) - (3)(2)\right] \\[1em] = \hat{k} \left[-\frac{1}{6} - 6\right] \\[1em] = -\frac{37}{6}\hat{k} $$

Ensamblar el vector

Ahora que tenemos las tres componentes, podemos armar el vector resultante:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \frac{35}{3}\hat{i} - 4\hat{j} - \frac{37}{6}\hat{k} \\[1em] \vec{a} \times \vec{b} = \left\langle \frac{35}{3}, -4, -\frac{37}{6} \right\rangle \approx \langle 11.67, -4, -6.17 \rangle $$

Calcular el producto cruz de los vectores con componentes decimales $\langle -1.5, 2.4, 0\rangle$ y $\langle 3.2, -1, 2.5\rangle.$

Resultado

El producto cruz (vectorial) de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \left\langle 6, \frac{15}{4}, -\frac{309}{50} \right\rangle \approx \langle 6, 3.75, -6.18 \rangle $$

Notación de vectores unitarios: $$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 6\hat{i} + \frac{15}{4}\hat{j} - \frac{309}{50}\hat{k} $$

Módulo del vector resultante: $$ \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{32687}}{100} \approx 9.39 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -1.5, 2.4, 0 \rangle = \left\langle -\frac{3}{2}, \frac{12}{5}, 0 \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 3.2, -1, 2.5 \rangle = \left\langle \frac{16}{5}, -1, \frac{5}{2} \right\rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto vectorial mediante un determinante de 3x3, donde la primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k, y las siguientes filas contienen las componentes de los vectores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.5em] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante respetando su orden (porque el producto vectorial no es conmutativo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.5em] -\frac{3}{2} & \frac{12}{5} & 0 \\[0.5em] \frac{16}{5} & -1 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} \frac{12}{5} & 0 \\[0.5em] -1 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -\frac{3}{2} & 0 \\[0.5em] \frac{16}{5} & \frac{5}{2} \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -\frac{3}{2} & \frac{12}{5} \\[0.5em] \frac{16}{5} & -1 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos para obtener cada componente por separado.

Primer término (vector i):

$$ \displaystyle \hat{i} \begin{vmatrix} \frac{12}{5} & 0 \\[0.5em] -1 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} = \hat{i} \left[\left(\frac{12}{5}\right)\left(\frac{5}{2}\right) - (0)(-1)\right] \\[1em] = \hat{i} [6 - 0] \\[1em] = 6\hat{i} $$

Segundo término (vector j):

Es importante no olvidar el signo negativo en este término.

$$ \displaystyle - \hat{j} \begin{vmatrix} -\frac{3}{2} & 0 \\[0.5em] \frac{16}{5} & \frac{5}{2} \end{vmatrix} = - \hat{j} \left[\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right) - (0)\left(\frac{16}{5}\right)\right] \\[1em] = - \hat{j} \left[-\frac{15}{4} - 0\right] \\[1em] = \frac{15}{4}\hat{j} $$

Tercer término (vector k):

$$ \displaystyle \hat{k} \begin{vmatrix} -\frac{3}{2} & \frac{12}{5} \\[0.5em] \frac{16}{5} & -1 \end{vmatrix} = \hat{k} \left[\left(-\frac{3}{2}\right)(-1) - \left(\frac{12}{5}\right)\left(\frac{16}{5}\right)\right] \\[1em] = \hat{k} \left[\frac{3}{2} - \frac{192}{25}\right] \\[1em] = -\frac{309}{50}\hat{k} $$

Ensamblar el vector

Ahora que tenemos las tres componentes, podemos armar el vector resultante:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 6\hat{i} + \frac{15}{4}\hat{j} - \frac{309}{50}\hat{k} \\[1em] \vec{a} \times \vec{b} = \left\langle 6, \frac{15}{4}, -\frac{309}{50} \right\rangle \approx \langle 6, 3.75, -6.18 \rangle $$

Encontrar el resultado del producto vectorial $\langle 1, 1, 1\rangle \times \langle -1, -1, -1\rangle.$

Resultado

El producto cruz (vectorial) de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \langle 0, 0, 0 \rangle $$

Notación de vectores unitarios: $$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} $$

Módulo del vector resultante: $$ \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = 0 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1, 1, 1 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -1, -1, -1 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto vectorial mediante un determinante de 3x3, donde la primera fila contiene los vectores unitarios i, j, k, y las siguientes filas contienen las componentes de los vectores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.3em] a_x & a_y & a_z \\[0.5em] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante respetando su orden (porque el producto vectorial no es conmutativo).

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[0.5em] 1 & 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos para obtener cada componente por separado.

Primer término (vector i):

$$ \displaystyle \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i} [(1)(-1) - (1)(-1)] \\[1em] = \hat{i} [-1 - (-1)] \\[1em] = 0\hat{i} $$

Segundo término (vector j):

Es importante no olvidar el signo negativo en este término.

$$ \displaystyle - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} = - \hat{j} [(1)(-1) - (1)(-1)] \\[1em] = - \hat{j} [-1 - (-1)] \\[1em] = 0\hat{j} $$

Tercer término (vector k):

$$ \displaystyle \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[0.5em] -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{k} [(1)(-1) - (1)(-1)] \\[1em] = \hat{k} [-1 - (-1)] \\[1em] = 0\hat{k} $$

Ensamblar el vector

Ahora que tenemos las tres componentes, podemos armar el vector resultante:

$$ \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} \\[1em] \vec{a} \times \vec{b} = \langle 0, 0, 0 \rangle $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: 1 de julio de 2026 (hace 2 semanas)