Calculadora de producto mixto de vectores

Introduce las componentes de los vectores para calcular su producto mixto (a · (b × c)) y ver la resolución paso a paso.

Vector a

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Vector b

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Vector c

⟨

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Ejemplos rápidos

Califica esta herramienta

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de producto mixto (también conocido como triple producto escalar) es una herramienta analítica orientada a resolver operaciones combinadas con tres vectores en el espacio tridimensional. El algoritmo evalúa la expresión a · (b × c) y, además de entregarte el valor algebraico, utiliza las propiedades geométricas para deducir el volumen del sólido que forman los vectores.

Configuración de los datos:

Ingreso de componentes en R³: la interfaz cuenta con tres bloques independientes para que introduzcas las coordenadas (x, y, z) correspondientes a los vectores a, b y c. El orden es importante, ya que el cálculo siempre tomará el primer vector para el producto escalar y los dos siguientes para el producto vectorial.
Tipos de números admitidos: las casillas de texto están preparadas para interpretar valores enteros, decimales, fracciones exactas y números irracionales (como raíces). El sistema matemático preservará el formato simbólico durante la operación para asegurar resultados exactos, sin errores de redondeo.

Lectura de los resultados:

Una vez que inicies el cálculo, la herramienta te entregará un reporte enfocado en el desarrollo algebraico en dos secciones:

Respuesta rápida: en el recuadro principal destacado aparecerá el valor escalar (un único número) resultante de la operación. Adicionalmente, esta caja te indicará el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores en el espacio; para obtener este dato físico, la herramienta aplica automáticamente el valor absoluto al resultado del producto mixto.
Desarrollo del método analítico: en el apartado inferior podrás seguir el paso a paso algebraico, verás cómo el sistema ensambla el determinante de una matriz 3x3 ubicando las componentes del vector a en la primera fila, seguidas por las del vector b en la segunda y las del c en la tercera. A continuación, se mostrará la expansión por cofactores (resolviendo los subdeterminantes 2x2 para cada término de la fila superior), sumando y restando los componentes hasta llegar al número escalar final.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular el producto mixto de los tres vectores $\vec{a}=\langle 1, -2, 3\rangle$ $\vec{b}=\langle 0, 4, -1\rangle$ y $\vec{c}=\langle 2, 1, 5\rangle.$

Resultado

El producto mixto de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 1 $$

Volumen del paralelepípedo: $ \displaystyle |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 1 \text{ u}^3 $

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1, -2, 3 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 0, 4, -1 \rangle \\[1em] \vec{c} = \langle 2, 1, 5 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto mixto mediante un determinante de 3x3, donde las filas corresponden a las componentes de los vectores ordenados a, b y c.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x & b_y & b_z \\[0.3em] c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\[0.5em] 0 & 4 & -1 \\[0.5em] 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

Expandimos el determinante a lo largo de la primera fila. Multiplicamos cada elemento de la fila por su respectivo determinante menor de 2x2. Recordamos alternar los signos de los términos (positivo, negativo, positivo).

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1) \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[0.5em] 1 & 5 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[0.5em] 2 & 5 \end{vmatrix} + (3) \begin{vmatrix} 0 & 4 \\[0.5em] 2 & 1 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos, y finalmente multiplicamos por la componente exterior.

Primer término:

$$ \displaystyle (1) \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[0.5em] 1 & 5 \end{vmatrix} = (1) [(4)(5) - (-1)(1)] \\[1em] = (1) [20 - (-1)] = 21 $$

Segundo término:

Es importante no olvidar el signo negativo que afecta a este término por regla de expansión.

$$ \displaystyle - (-2) \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[0.5em] 2 & 5 \end{vmatrix} = - (-2) [(0)(5) - (-1)(2)] \\[1em] = - (-2) [0 - (-2)] = 4 $$

Tercer término:

$$ \displaystyle (3) \begin{vmatrix} 0 & 4 \\[0.5em] 2 & 1 \end{vmatrix} = (3) [(0)(1) - (4)(2)] \\[1em] = (3) [0 - 8] = -24 $$

6. Sumar los términos

Ahora que tenemos los tres términos, los sumamos para obtener el resultado final del producto mixto:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 21 + 4 - 24 = 1 $$

Encontrar el resultado del producto mixto $\langle 2, 0, 0\rangle \cdot (\langle 0, 3, 0\rangle \times \langle 0, 0, 4\rangle).$

Resultado

El producto mixto de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 24 $$

Volumen del paralelepípedo: $ \displaystyle |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 24 \text{ u}^3 $

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 2, 0, 0 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 0, 3, 0 \rangle \\[1em] \vec{c} = \langle 0, 0, 4 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto mixto mediante un determinante de 3x3, donde las filas corresponden a las componentes de los vectores ordenados a, b y c.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x & b_y & b_z \\[0.3em] c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 3 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[0.5em] 0 & 4 \end{vmatrix} - (0) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 4 \end{vmatrix} + (0) \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[0.5em] 0 & 0 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos, y finalmente multiplicamos por la componente exterior.

Primer término:

$$ \displaystyle (2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[0.5em] 0 & 4 \end{vmatrix} = (2) [(3)(4) - (0)(0)] \\[1em] = (2) [12 - 0] = 24 $$

Segundo término:

Es importante no olvidar el signo negativo que afecta a este término por regla de expansión.

$$ \displaystyle - (0) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 4 \end{vmatrix} = - (0) [(0)(4) - (0)(0)] \\[1em] = - (0) [0 - 0] = 0 $$

Tercer término:

$$ \displaystyle (0) \begin{vmatrix} 0 & 3 \\[0.5em] 0 & 0 \end{vmatrix} = (0) [(0)(0) - (3)(0)] \\[1em] = (0) [0 - 0] = 0 $$

6. Sumar los términos

Ahora que tenemos los tres términos, los sumamos para obtener el resultado final del producto mixto:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 24 + 0 + 0 = 24 $$

Obtener el resultado del producto de los tres vectores $\langle 1/2, 1, -3/4\rangle \cdot (\langle 2, 5/2, 1\rangle \times \langle 3,-1/3, 2/5\rangle).$

Resultado

El producto mixto de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1151}{120} \approx 9.59 $$

Volumen del paralelepípedo: $ \displaystyle |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1151}{120} \approx 9.59 \text{ u}^3 $

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{1}{2}, 1, -\frac{3}{4} \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \left\langle -2, \frac{5}{2}, 1 \right\rangle \\[1em] \vec{c} = \left\langle 3, -\frac{1}{3}, \frac{2}{5} \right\rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto mixto mediante un determinante de 3x3, donde las filas corresponden a las componentes de los vectores ordenados a, b y c.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x & b_y & b_z \\[0.3em] c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 1 & -\frac{3}{4} \\[0.5em] -2 & \frac{5}{2} & 1 \\[0.5em] 3 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{5} \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \left(\frac{1}{2}\right) \begin{vmatrix} \frac{5}{2} & 1 \\[0.5em] -\frac{1}{3} & \frac{2}{5} \end{vmatrix} - (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[0.5em] 3 & \frac{2}{5} \end{vmatrix} + \left(-\frac{3}{4}\right) \begin{vmatrix} -2 & \frac{5}{2} \\[0.5em] 3 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos, y finalmente multiplicamos por la componente exterior.

Primer término:

$$ \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right) \begin{vmatrix} \frac{5}{2} & 1 \\[0.5em] -\frac{1}{3} & \frac{2}{5} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{2}\right) \left[\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{2}{5}\right) - (1)\left(-\frac{1}{3}\right)\right] \\[1em] = \left(\frac{1}{2}\right) \left[1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right] = \frac{2}{3} $$

Segundo término:

Es importante no olvidar el signo negativo que afecta a este término por regla de expansión.

$$ \displaystyle - (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[0.5em] 3 & \frac{2}{5} \end{vmatrix} = - (1) \left[(-2)\left(\frac{2}{5}\right) - (1)(3)\right] \\[1em] = - (1) \left[-\frac{4}{5} - 3\right] = \frac{19}{5} $$

Tercer término:

$$ \displaystyle \left(-\frac{3}{4}\right) \begin{vmatrix} -2 & \frac{5}{2} \\[0.5em] 3 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} = \left(-\frac{3}{4}\right) \left[(-2)\left(-\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{5}{2}\right)(3)\right] \\[1em] = \left(-\frac{3}{4}\right) \left[\frac{2}{3} - \frac{15}{2}\right] = \frac{41}{8} $$

6. Sumar los términos

Ahora que tenemos los tres términos, los sumamos para obtener el resultado final del producto mixto:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{2}{3} + \frac{19}{5} + \frac{41}{8} = \frac{1151}{120} \approx 9.59 $$

Hallar el resultado del producto escalar triple a · (b × c) siendo $\vec{a}=\langle -5, -3, -2\rangle,$ $\vec{b}=\langle -1, -4, -6\rangle$ y $\vec{c}=\langle -7, -2, -1\rangle.$

Resultado

El producto mixto de los vectores dados es:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = -31 $$

Volumen del paralelepípedo: $ \displaystyle |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 31 \text{ u}^3 $

Resolución paso a paso

1. Identificar los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -5, -3, -2 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle -1, -4, -6 \rangle \\[1em] \vec{c} = \langle -7, -2, -1 \rangle $$

2. Formular el determinante general.

Expresamos el producto mixto mediante un determinante de 3x3, donde las filas corresponden a las componentes de los vectores ordenados a, b y c.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\[0.3em] b_x & b_y & b_z \\[0.3em] c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} $$

3. Sustituir las componentes de los vectores.

Reemplazamos los valores de los vectores ingresados en el determinante.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} -5 & -3 & -2 \\[0.5em] -1 & -4 & -6 \\[0.5em] -7 & -2 & -1 \end{vmatrix} $$

4. Desarrollar el determinante por menores.

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (-5) \begin{vmatrix} -4 & -6 \\[0.5em] -2 & -1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} -1 & -6 \\[0.5em] -7 & -1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & -4 \\[0.5em] -7 & -2 \end{vmatrix} $$

5. Resolver y simplificar.

Calculamos los determinantes de 2x2 multiplicando cruzado y restando sus productos, y finalmente multiplicamos por la componente exterior.

Primer término:

$$ \displaystyle (-5) \begin{vmatrix} -4 & -6 \\[0.5em] -2 & -1 \end{vmatrix} = (-5) [(-4)(-1) - (-6)(-2)] \\[1em] = (-5) [4 - 12] = 40 $$

Segundo término:

Es importante no olvidar el signo negativo que afecta a este término por regla de expansión.

$$ \displaystyle - (-3) \begin{vmatrix} -1 & -6 \\[0.5em] -7 & -1 \end{vmatrix} = - (-3) [(-1)(-1) - (-6)(-7)] \\[1em] = - (-3) [1 - 42] = -123 $$

Tercer término:

$$ \displaystyle (-2) \begin{vmatrix} -1 & -4 \\[0.5em] -7 & -2 \end{vmatrix} = (-2) [(-1)(-2) - (-4)(-7)] \\[1em] = (-2) [2 - 28] = 52 $$

6. Sumar los términos

Ahora que tenemos los tres términos, los sumamos para obtener el resultado final del producto mixto:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 40 - 123 + 52 = -31 $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: 3 de julio de 2026 (hace 1 semana)