Calculadora de proyección de un vector

Introduce las componentes de los vectores (R2 o R3) para calcular la proyección ortogonal del vector a sobre la dirección del vector b y ver su resolución paso a paso con el gráfico.

Vector a
⟨ , ⟩
Vector b
⟨ , ⟩

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de proyección de un vector sobre otro es una herramienta de geometría analítica diseñada para hallar la sombra geométrica que proyecta un vector sobre la línea de acción de otro. Además de entregarte el resultado directo, el sistema genera la resolución matemática paso a paso y, para problemas bidimensionales, un gráfico interactivo.

Configuración e ingreso de datos:

  1. Selecciona la dimensión: utiliza el selector inicial para indicarle a la herramienta si tus vectores se encuentran en el plano bidimensional (2D, con ejes x, y) o en el espacio tridimensional (3D, con ejes x, y, z).
  2. Introduce las componentes: dispones de dos bloques independientes para ingresar los datos. En el primero colocarás las componentes del vector a (el vector que se va a proyectar) y en el segundo las del vector base b (el vector sobre el cual se realiza la proyección). Puedes utilizar números enteros, decimales y fracciones exactas.

Una vez introducidos los valores, el motor matemático procesará la información y te presentará los resultados estructurados en tres secciones:

1. Respuesta rápida
En el primer bloque destacado encontrarás la solución directa a tu ejercicio. El sistema te mostrará las componentes exactas de la proyección ortogonal de a sobre b (que es un nuevo vector). Además, te entregará la componente escalar de la proyección, un valor numérico equivalente a a · b / |b|, que representa la longitud con signo de dicha sombra geométrica.

2. Resolución paso a paso
A continuación, se desplegará el desarrollo analítico completo para que comprendas el procedimiento. El algoritmo te guiará a través del siguiente método lógico:

  • Producto escalar: primero, el sistema resolverá el producto punto entre ambos vectores multiplicando y sumando sus componentes respectivas (ax·bx + ay·by + az·bz).
  • Cuadrado del módulo: luego, se calculará el cuadrado de la magnitud del vector base b, denotado como |b|2, sumando los cuadrados de cada una de sus componentes.
  • Sustitución en la fórmula: con ambos valores hallados, la calculadora reemplazará los datos en la fórmula general del vector proyección: proyba = ((a · b) / |b|2) · b. Verás cómo se multiplica el escalar resultante por cada componente del vector directriz hasta obtener el resultado final simplificado.

3. Gráfico interactivo
Si tu ejercicio se sitúa en dos dimensiones, la parte inferior del informe incluirá un plano cartesiano interactivo. En esta representación visual podrás observar el origen de coordenadas, la recta que define la dirección del vector base b, los vectores originales a y b, y finalmente, el vector proyección. Esto te permitirá comprobar de manera geométrica cómo la punta del vector a cae de forma perpendicular (formando un ángulo de 90°) sobre la recta directriz.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular la proyección del vectror a = ⟨-2, 5⟩ sobre el vector b = ⟨4, -3⟩.

Resultado

La proyección ortogonal del vector a sobre la dirección del vector b es:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \left\langle -\frac{92}{25}, \frac{69}{25} \right\rangle \approx \langle -3.68, 2.76 \rangle $$

Componente escalar: \( \displaystyle \text{comp}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = -\frac{23}{5} \approx -4.6 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -2, 5 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 4, -3 \rangle $$

Extraemos sus respectivas componentes para utilizarlas en los cálculos posteriores:

$$ \displaystyle a_{x} = -2, \quad a_{y} = 5 \\[1em] b_{x} = 4, \quad b_{y} = -3 $$

2. Calcular el producto escalar.

Obtenemos el producto punto multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(4) + (5)(-3) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = -23 $$

3. Calcular el cuadrado del módulo del vector base.

El vector sobre el cual se proyecta es b. Elevamos al cuadrado sus componentes y las sumamos para obtener el cuadrado de su magnitud:

$$ \displaystyle |\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = (4)^2 + (-3)^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = 25 $$

4. Obtener el vector proyección.

La proyección del vector a sobre la dirección de b se puede obtener con la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} ~\vec{b} $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-23}{25} \langle 4, -3 \rangle \\[1em] \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \left\langle -\frac{92}{25}, \frac{69}{25} \right\rangle \approx \langle -3.68, 2.76 \rangle $$
Gráfico de dos vectores en el plano cartesiano y la proyección ortogonal de uno sobre la dirección del otro. Ejemplo 1.
Gráfico de la proyección
Determinar la proyección ortogonal del vector ⟨1, 2⟩ sobre la dirección del vector ⟨2, 1⟩.

Resultado

La proyección vectorial del vector a sobre la dirección del vector b es:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \left\langle \frac{8}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle \approx \langle 1.6, 0.8 \rangle $$

Componente escalar: \( \displaystyle \text{comp}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1, 2 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 2, 1 \rangle $$

Extraemos sus respectivas componentes para utilizarlas en los cálculos posteriores:

$$ \displaystyle a_{x} = 1, \quad a_{y} = 2 \\[1em] b_{x} = 2, \quad b_{y} = 1 $$

2. Calcular el producto escalar.

Obtenemos el producto punto multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 $$

3. Calcular el cuadrado del módulo del vector base.

El vector sobre el cual se proyecta es b. Elevamos al cuadrado sus componentes y las sumamos para obtener el cuadrado de su magnitud:

$$ \displaystyle |\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = (2)^2 + (1)^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = 5 $$

4. Obtener el vector proyección.

La proyección del vector a sobre la dirección de b se puede obtener con la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} ~\vec{b} $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{4}{5} \langle 2, 1 \rangle \\[1em] \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \left\langle \frac{8}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle \approx \langle 1.6, 0.8 \rangle $$
Gráfico de dos vectores en el plano cartesiano y la proyección ortogonal de uno sobre la dirección del otro. Ejemplo 2.
Gráfico de la proyección
Hallar la proyección y componente escalar del vector ⟨3, 2⟩ sobre el vector ⟨5, 1⟩.

Resultado

La proyección del vector a sobre la dirección del vector b es:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \left\langle \frac{85}{26}, \frac{17}{26} \right\rangle \approx \langle 3.27, 0.65 \rangle $$

Componente escalar: \( \displaystyle \text{comp}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{17}{\sqrt{26}} \approx 3.33 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 3, 2 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 5, 1 \rangle $$

Extraemos sus respectivas componentes para utilizarlas en los cálculos posteriores:

$$ \displaystyle a_{x} = 3, \quad a_{y} = 2 \\[1em] b_{x} = 5, \quad b_{y} = 1 $$

2. Calcular el producto escalar.

Obtenemos el producto punto multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(5) + (2)(1) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 17 $$

3. Calcular el cuadrado del módulo del vector base.

El vector sobre el cual se proyecta es b. Elevamos al cuadrado sus componentes y las sumamos para obtener el cuadrado de su magnitud:

$$ \displaystyle |\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = (5)^2 + (1)^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = 26 $$

4. Obtener el vector proyección.

La proyección del vector a sobre la dirección de b se puede obtener con la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} ~\vec{b} $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{17}{26} \langle 5, 1 \rangle \\[1em] \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \left\langle \frac{85}{26}, \frac{17}{26} \right\rangle \approx \langle 3.27, 0.65 \rangle $$
Gráfico de dos vectores en el plano cartesiano y la proyección ortogonal de uno sobre la dirección del otro. Ejemplo 3.
Gráfica de la proyección
Encontrar el vector proyección de a = ⟨3/2, 1/2⟩ sobre la dirección del vector b = ⟨2, -1⟩.

Resultado

La proyección vectorial del vector a sobre la dirección del vector b es:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \left\langle 1, -\frac{1}{2} \right\rangle \approx \langle 1, -0.5 \rangle $$

Componente escalar: \( \displaystyle \text{comp}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \approx 1.12 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right\rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 2, -1 \rangle $$

Extraemos sus respectivas componentes para utilizarlas en los cálculos posteriores:

$$ \displaystyle a_{x} = \frac{3}{2}, \quad a_{y} = \frac{1}{2} \\[1em] b_{x} = 2, \quad b_{y} = -1 $$

2. Calcular el producto escalar.

Obtenemos el producto punto multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = \left(\frac{3}{2}\right)(2) + \left(\frac{1}{2}\right)(-1) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2} $$

3. Calcular el cuadrado del módulo del vector base.

El vector sobre el cual se proyecta es b. Elevamos al cuadrado sus componentes y las sumamos para obtener el cuadrado de su magnitud:

$$ \displaystyle |\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = 5 $$

4. Obtener el vector proyección.

La proyección del vector a sobre la dirección de b se puede obtener con la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} ~\vec{b} $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\frac{5}{2}}{5} \langle 2, -1 \rangle = \frac{1}{2} \langle 2, -1 \rangle \\[1em] \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \left\langle 1, -\frac{1}{2} \right\rangle \approx \langle 1, -0.5 \rangle $$
Gráfico de dos vectores en el plano cartesiano y la proyección ortogonal de uno sobre la dirección del otro. Ejemplo 4.
Gráfica de la proyección
Calcular la proyección ortogonal y componente escalar del vector ⟨1, 1, 1⟩ sobre el vector ⟨2, -1, 3⟩.

Resultado

La proyección ortogonal del vector a sobre la dirección del vector b es:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \left\langle \frac{4}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{6}{7} \right\rangle \approx \langle 0.57, -0.29, 0.86 \rangle $$

Componente escalar: \( \displaystyle \text{comp}_{\vec{b}}~ \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{4}{\sqrt{14}} \approx 1.07 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar son:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1, 1, 1 \rangle \\[1em] \vec{b} = \langle 2, -1, 3 \rangle $$

Extraemos sus respectivas componentes para utilizarlas en los cálculos posteriores:

$$ \displaystyle a_{x} = 1, \quad a_{y} = 1, \quad a_{z} = 1 \\[1em] b_{x} = 2, \quad b_{y} = -1, \quad b_{z} = 3 $$

2. Calcular el producto escalar.

Obtenemos el producto punto multiplicando las componentes correspondientes de ambos vectores y sumando los resultados:

$$ \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) \\[1em] \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 $$

3. Calcular el cuadrado del módulo del vector base.

El vector sobre el cual se proyecta es b. Elevamos al cuadrado sus componentes y las sumamos para obtener el cuadrado de su magnitud:

$$ \displaystyle |\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 \\[1em] |\vec{b}|^2 = 14 $$

4. Obtener el vector proyección.

La proyección del vector a sobre la dirección de b se puede obtener con la siguiente fórmula:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} ~\vec{b} $$

Sustituimos los valores previamente calculados:

$$ \displaystyle \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{4}{14} \langle 2, -1, 3 \rangle = \frac{2}{7} \langle 2, -1, 3 \rangle \\[1em] \text{proy}_{\vec{b}} \vec{a} = \left\langle \frac{4}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{6}{7} \right\rangle \approx \langle 0.57, -0.29, 0.86 \rangle $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 1 semana)