Calculadora de rectas paralelas y perpendiculares

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de rectas paralelas y perpendiculares es una herramienta de geometría analítica diseñada para encontrar la ecuación de una nueva recta a partir de una de referencia y un punto. El sistema no solo te da el resultado final, sino que genera el desarrollo algebraico paso a paso y grafica la situación en el plano cartesiano.

Cómo ingresar tus datos:

1. Selecciona el modo: utiliza el menú desplegable para indicarle al algoritmo si deseas encontrar una recta paralela o una recta perpendicular.
2. Ecuación de la recta: el motor algebraico es muy flexible. Puedes ingresar la ecuación de la recta original en cualquier formato: forma explícita (y = mx + b), forma general (Ax + By + C = 0) o incluso expresiones desordenadas sin simplificar. La calculadora agrupará y despejará los términos automáticamente.
3. Coordenadas del punto: ingresa los valores x e y del punto por donde debe pasar tu nueva recta. Todos los campos de entrada admiten coeficientes reales: puedes usar números enteros, decimales, fracciones exactas y raíces irracionales. Las fracciones y raíces se conservarán de forma simbólica para evitar errores de redondeo.

Una vez procesados los datos, la herramienta te presentará un informe estructurado en tres bloques principales:

Respuesta rápida: un cuadro inicial con la solución directa a tu problema. Aquí encontrarás la ecuación explícita de la nueva recta, su equivalente en forma general igualada a cero, y los valores exactos de su pendiente (m) y su ordenada al origen (b).

Resolución paso a paso: a continuación, se desplegará el desarrollo matemático. El sistema te mostrará cómo se extrae la pendiente m₁ de la ecuación dada y cómo se aplica la condición geométrica para hallar la nueva pendiente (igualando m₂ = m₁ para paralelas, o invirtiendo el valor m₁ · m₂ = -1 para perpendiculares). Finalmente, verás la sustitución en la fórmula punto-pendiente y el despeje final. El motor detecta casos especiales, adaptando la explicación si se trata de rectas verticales u horizontales.

Gráfico cartesiano: al final del reporte, visualizarás un plano cartesiano interactivo donde están trazados la recta original, la nueva recta y el punto dado. En caso de perpendicularidad, se destacará visualmente el sector angular de 90°.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular la ecuación de la recta perpendicular a y = 2x - 3 que pasa por el punto (4, 1).

Resultado

La ecuación de la recta perpendicular a \( y = 2x - 3 \) y que pasa por el punto \( P(4, 1) \) es:

$$ y = -\dfrac{1}{2} x + 3 $$

En forma general: \( x +2y -6 = 0 \)

Pendiente: \( m = -\dfrac{1}{2} \)

Ordenada al origen: \( b = 3 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar y calcular la nueva pendiente.

La ecuación y el punto a trabajar son:

$$ y = 2x - 3 \\ P(4, 1) $$

Nos aseguramos de que la ecuación de la recta dada esté expresada en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos su pendiente (m₁):

$$ y = 2 x - 3 \quad \rightarrow \quad m_1 = 2 $$

Como buscamos una recta perpendicular, la condición geométrica establece que el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:

$$ m_1 \cdot m_2 = -1 \quad \rightarrow \quad m_2 = -\dfrac{1}{m_1} $$

Utilizando la fórmula, calculamos el valor de la nueva pendiente (m₂):

$$ m_2 = -\dfrac{1}{2} $$

2. Construir la ecuación de la nueva recta.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente sustituyendo las coordenadas del punto ingresado y la pendiente obtenida. Luego, desarrollamos y simplificamos la ecuación para expresarla en su forma explícita:

$$ y - y_0 = m_2(x - x_0) \\[1.2em] y - 1 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)(x - 4) \\[1.2em] y = -\dfrac{1}{2} x + 3 $$

Determinar la ecuación de la recta paralela a y = -3x + 1 que pasa por el punto (-2, 5).

Resultado

La ecuación de la recta paralela a \( y = -3x + 1 \) y que pasa por el punto \( P(-2, 5) \) es:

$$ y = -3 x - 1 $$

En forma general: \( 3x +y +1 = 0 \)

Pendiente: \( m = -3 \)

Ordenada al origen: \( b = -1 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar la pendiente de la recta original.

La ecuación y el punto a trabajar son:

$$ y = -3x + 1 \\ P(-2, 5) $$

Nos aseguramos de que la ecuación de la recta dada esté expresada en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos su pendiente (m₁):

$$ y = -3 x + 1 \quad \rightarrow \quad m_1 = -3 $$

Como buscamos una recta paralela, por definición, la nueva recta tendrá exactamente la misma pendiente (m₂ = m₁):

$$ m_2 = -3 $$

2. Construir la ecuación de la nueva recta.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente sustituyendo las coordenadas del punto ingresado y la pendiente obtenida. Luego, desarrollamos y simplificamos la ecuación para expresarla en su forma explícita:

$$ y - y_0 = m_2(x - x_0) \\[1.2em] y - 5 = (-3)(x - (-2)) \\[1.2em] y = -3 x - 1 $$

Encontrar la ecuación de la línea recta perpendicular a 3x - 4y + 12 = 0 y que pasa por el punto (-1, 3).

Resultado

La ecuación de la recta perpendicular a \( 3x - 4y + 12 = 0 \) y que pasa por el punto \( P(-1, 3) \) es:

$$ y = -\dfrac{4}{3} x + \dfrac{5}{3} $$

En forma general: \( 4x +3y -5 = 0 \)

Pendiente: \( m = -\dfrac{4}{3} \)

Ordenada al origen: \( b = \dfrac{5}{3} \)

Resolución paso a paso

1. Identificar y calcular la nueva pendiente.

La ecuación y el punto a trabajar son:

$$ 3x - 4y + 12 = 0 \\ P(-1, 3) $$

Nos aseguramos de que la ecuación de la recta dada esté expresada en su forma explícita (y = mx + b) y extraemos su pendiente (m₁):

$$ y = \dfrac{3}{4} x + 3 \quad \rightarrow \quad m_1 = \dfrac{3}{4} $$

Como buscamos una recta perpendicular, la condición geométrica establece que el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:

$$ m_1 \cdot m_2 = -1 \quad \rightarrow \quad m_2 = -\dfrac{1}{m_1} $$

Utilizando la fórmula, calculamos el valor de la nueva pendiente (m₂):

$$ m_2 = -\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}} \\[1.2em] m_2 = -\dfrac{4}{3} $$

2. Construir la ecuación de la nueva recta.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente sustituyendo las coordenadas del punto ingresado y la pendiente obtenida. Luego, desarrollamos y simplificamos la ecuación para expresarla en su forma explícita:

$$ y - y_0 = m_2(x - x_0) \\[1.2em] y - 3 = \left(-\dfrac{4}{3}\right)(x - (-1)) \\[1.2em] y = -\dfrac{4}{3} x + \dfrac{5}{3} $$

Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la vertical x = 4 y pasa por el punto (2, -3).

Resultado

La ecuación de la recta paralela a \( x = 4 \) y que pasa por el punto \( P(2, -3) \) es:

$$ x = 2 $$

En forma general: \( x -2 = 0 \)

Resolución paso a paso

1. Identificar la pendiente de la recta original.

La ecuación y el punto a trabajar son:

$$ x = 4 \\ P(2, -3) $$

Notamos que la ecuación dada representa una recta vertical (no tiene variable y), por lo que su pendiente es indefinida.

2. Construir la ecuación de la nueva recta.

Como buscamos una recta paralela a una vertical, la nueva recta también será vertical. Su ecuación será de la forma x = x₀, donde x₀ es la coordenada en x del punto dado.

$$ x = 2 $$

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