Calculadora de la regla de Cramer

Introduce los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales (2x2, 3x3, 4x4) para resolverlo mediante el método de Cramer paso a paso y con gráfico.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de la regla de Cramer es una herramienta algebraica diseñada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además de entregarte la solución directa del problema, el sistema genera el desarrollo matemático paso a paso y, para sistemas de dos variables, proporciona una representación gráfica de la situación.

Cómo ingresar tus datos:

  1. Selecciona el tamaño del sistema: utiliza el menú principal para elegir la dimensión de tu problema. La herramienta admite sistemas de 2x2 (dos ecuaciones y dos incógnitas), 3x3 y hasta 4x4.
  2. Rellena los coeficientes: introduce los valores numéricos que acompañan a cada variable y los términos independientes en las casillas correspondientes. Si en tu sistema falta alguna variable, simplemente deja la celda vacía; el motor matemático asumirá automáticamente que su coeficiente es 0.

Una vez procesados los datos de entrada, la calculadora estructurará la respuesta en las siguientes secciones:

1. Respuesta rápida
En un primer bloque destacado, obtendrás el diagnóstico y la solución directa de tu sistema. Si el sistema tiene solución única (compatible determinado), verás los valores exactos de cada variable. Si el determinante principal es nulo, la herramienta te informará si es un sistema incompatible (sin solución) o un sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, una deducción analítica que el algoritmo aplica específicamente en el modo 2x2).

2. Resolución paso a paso
A continuación, se desplegará el procedimiento detallado aplicando el método algebraico para resolver tu sistema y diagnosticar su naturaleza:

  • Extracción de matrices: el sistema aislará la información de tu problema planteando la matriz cuadrada de coeficientes (A) y la matriz columna de términos independientes (B).
  • Determinante principal: el primer paso de cálculo será hallar el determinante de la matriz del sistema (Δ).
  • Determinantes de las variables: el algoritmo construirá nuevas matrices sustituyendo la columna correspondiente a cada variable por la matriz B, calculando así los determinantes individuales (Δx, Δy, Δz, etc.).
  • Cálculo final y diagnóstico: con todos los valores obtenidos, la herramienta evaluará los resultados para llegar a la conclusión analítica:
    - Si Δ ≠ 0: el sistema aplicará la fórmula final para cada incógnita (por ejemplo: x = Δx / Δ), obteniendo los valores reducidos para un sistema compatible determinado.
    - Si Δ = 0 y al menos uno de los determinantes de las variables es distinto de cero: el desarrollo concluirá lógicamente que es un sistema incompatible (sin solución).
    - Si Δ = 0 y todos los determinantes de las variables también son cero: el análisis dependerá de la dimensión del problema. En sistemas 2x2, la calculadora confirmará que se trata de un sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones). Sin embargo, en sistemas de 3x3 o 4x4, concluirá que por el teorema de Cramer solo se puede deducir que el sistema no es compatible determinado, ya que para afirmar si tiene infinitas soluciones o ninguna, se requerirían otros métodos como la eliminación de Gauss.

3. Gráfico interactivo
Al resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, los resultados incluirán un plano cartesiano interactivo en la parte inferior. La herramienta graficará ambas ecuaciones como rectas. Podrás comprobar visualmente el resultado de forma geométrica: si las rectas se cruzan en un punto (solución única), si son paralelas (sistema incompatible) o si se superponen trazando la misma línea (sistema compatible indeterminado).

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Resolver el siguiente sistema 2x2 por el método de Cramer: 2x + 3y = 8, x - 2y = -3.

Resultado

La solución del sistema de ecuaciones es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = 1 \\[1em] \displaystyle y = 2 \end{cases} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\[0.5em] x -2y = -3 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\[0.5em] 1 & -2 \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 8 \\[0.5em] -3 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[0.5em] 1 & -2 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = (2)\left(-2\right) - (3)(1) \\[0.8em] \Delta = -7 $$

Como Δ ≠ 0, el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\[0.5em] -3 & -2 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = (8)\left(-2\right) - (3)\left(-3\right) \\[0.8em] \Delta_{x} = -7 $$

4. Calcular el determinante de y (Δy).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable y por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\[0.5em] 1 & -3 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{y} = (2)\left(-3\right) - (8)(1) \\[0.8em] \Delta_{y} = -14 $$

5. Obtener los valores de las incógnitas.

Dividimos los determinantes de cada variable por el determinante del sistema para encontrar el valor de cada variable.

Valor de x:

$$ \displaystyle x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} \\[0.8em] x = \dfrac{-7}{-7} \\[0.8em] x = 1 $$

Valor de y:

$$ \displaystyle y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} \\[0.8em] y = \dfrac{-14}{-7} \\[0.8em] y = 2 $$

Por lo tanto, la solución del sistema es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = 1 \\[1em] \displaystyle y = 2 \end{cases} $$

6. Interpretación geométrica.

El sistema se puede representar gráficamente como dos rectas que se intersecan en un único punto (la solución).

Gráfico en el plano cartesiano de dos rectas secantes que representan ecuaciones de un sistema lineal 2x2. Ejemplo 1.
Gráfico de la solución del sistema
Hallar la solución del sistema lineal x/2 + y = 3, x - y/3 = 1.

Resultado

La solución del sistema de ecuaciones es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = \frac{12}{7} \approx 1.71 \\[1em] \displaystyle y = \frac{15}{7} \approx 2.14 \end{cases} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 \\[0.5em] x -\frac{1}{3}y = 1 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\[0.5em] 1 & -\frac{1}{3} \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 3 \\[0.5em] 1 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\[0.5em] 1 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) - (1)(1) \\[0.8em] \Delta = -\frac{7}{6} \approx -1.17 $$

Como Δ ≠ 0, el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[0.5em] 1 & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = (3)\left(-\frac{1}{3}\right) - (1)(1) \\[0.8em] \Delta_{x} = -2 $$

4. Calcular el determinante de y (Δy).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable y por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{y} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & 3 \\[0.5em] 1 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{y} = \left(\frac{1}{2}\right)(1) - (3)(1) \\[0.8em] \Delta_{y} = -\frac{5}{2} = -2.5 $$

5. Obtener los valores de las incógnitas.

Dividimos los determinantes de cada variable por el determinante del sistema para encontrar el valor de cada variable.

Valor de x:

$$ \displaystyle x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} \\[0.8em] x = \dfrac{-2}{-\frac{7}{6}} \\[0.8em] x = \frac{12}{7} \approx 1.71 $$

Valor de y:

$$ \displaystyle y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} \\[0.8em] y = \dfrac{-\frac{5}{2}}{-\frac{7}{6}} \\[0.8em] y = \frac{15}{7} \approx 2.14 $$

Por lo tanto, la solución del sistema es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = \frac{12}{7} \approx 1.71 \\[1em] \displaystyle y = \frac{15}{7} \approx 2.14 \end{cases} $$

6. Interpretación geométrica.

El sistema se puede representar gráficamente como dos rectas que se intersecan en un único punto (la solución).

Gráfico en el plano cartesiano de dos rectas secantes que representan ecuaciones de un sistema lineal 2x2. Ejemplo 2.
Utilizar la regla de Cramer para resolver el sistema lineal x + 2y = 4, 2x + 4y = 5.

Resultado

El sistema dado es incompatible (no tiene solución).

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} x + 2y = 4 \\[0.5em] 2x + 4y = 5 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\[0.5em] 2 & 4 \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 4 \\[0.5em] 5 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[0.5em] 2 & 4 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = (1)(4) - (2)(2) \\[0.8em] \Delta = 0 $$

Como Δ = 0, el sistema es o compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) o incompatible (no tiene solución). Para intentar descubrir cuál de los dos casos es, continuamos calculando los determinantes de las variables.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\[0.5em] 5 & 4 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = (4)(4) - (2)(5) \\[0.8em] \Delta_{x} = 6 $$

4. Determinar el tipo de sistema.

Al evaluar los resultados obtenidos, observamos que el determinante del sistema es cero y al menos un determinante de variable es distinto de cero. Esto significa que el sistema es incompatible y no tiene solución.

5. Interpretación geométrica.

El sistema se puede representar gráficamente como dos rectas paralelas que nunca se cruzan (no hay solución).

Gráfico en el plano cartesiano de dos rectas paralelas que representan ecuaciones de un sistema lineal 2x2. Ejemplo 3.
Encontrar el conjunto solución del sistema x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2 aplicando la regla de Cramer.

Resultado

La solución del sistema de ecuaciones es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = 1 \\[1em] \displaystyle y = 2 \\[1em] \displaystyle z = 3 \end{cases} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} x + y + z = 6 \\[0.5em] 2x -y + z = 3 \\[0.5em] x + 2y -z = 2 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 6 \\[0.5em] 3 \\[0.5em] 2 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = 7 $$

Como Δ ≠ 0, el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\[0.5em] 3 & -1 & 1 \\[0.5em] 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = 7 $$

4. Calcular el determinante de y (Δy).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable y por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\[0.5em] 2 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{y} = 14 $$

5. Calcular el determinante de z (Δz).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable z por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\[0.5em] 2 & -1 & 3 \\[0.5em] 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{z} = 21 $$

6. Obtener los valores de las incógnitas.

Dividimos los determinantes de cada variable por el determinante del sistema para encontrar el valor de cada variable.

Valor de x:

$$ \displaystyle x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} \\[0.8em] x = \dfrac{7}{7} \\[0.8em] x = 1 $$

Valor de y:

$$ \displaystyle y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} \\[0.8em] y = \dfrac{14}{7} \\[0.8em] y = 2 $$

Valor de z:

$$ \displaystyle z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} \\[0.8em] z = \dfrac{21}{7} \\[0.8em] z = 3 $$

Por lo tanto, la solución del sistema es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = 1 \\[1em] \displaystyle y = 2 \\[1em] \displaystyle z = 3 \end{cases} $$
Resolver el sistema lineal 3x3 aplicando el teorema de Cramer: x + y = 2, y + z = 3, x + z = 4.

Resultado

La solución del sistema de ecuaciones es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = \frac{3}{2} = 1.5 \\[1em] \displaystyle y = \frac{1}{2} = 0.5 \\[1em] \displaystyle z = \frac{5}{2} = 2.5 \end{cases} $$

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} x + y = 2 \\[0.5em] y + z = 3 \\[0.5em] x + z = 4 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 \\[0.5em] 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 2 \\[0.5em] 3 \\[0.5em] 4 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 \\[0.5em] 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = 2 $$

Como Δ ≠ 0, el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[0.5em] 3 & 1 & 1 \\[0.5em] 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = 3 $$

4. Calcular el determinante de y (Δy).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable y por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[0.5em] 0 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{y} = 1 $$

5. Calcular el determinante de z (Δz).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable z por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & 1 & 3 \\[0.5em] 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{z} = 5 $$

6. Obtener los valores de las incógnitas.

Dividimos los determinantes de cada variable por el determinante del sistema para encontrar el valor de cada variable.

Valor de x:

$$ \displaystyle x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} \\[0.8em] x = \dfrac{3}{2} = 1.5 $$

Valor de y:

$$ \displaystyle y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} \\[0.8em] y = \dfrac{1}{2} = 0.5 $$

Valor de z:

$$ \displaystyle z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} \\[0.8em] z = \dfrac{5}{2} = 2.5 $$

Por lo tanto, la solución del sistema es:

$$ \displaystyle \begin{cases} \displaystyle x = \frac{3}{2} = 1.5 \\[1em] \displaystyle y = \frac{1}{2} = 0.5 \\[1em] \displaystyle z = \frac{5}{2} = 2.5 \end{cases} $$
Hallar la solución (si existe) del siguiente sistema lineal usando la regla de Cramer: x + y + z = 1, x + y + z = 2, 2x - y + z = 3

Resultado

El sistema dado es incompatible (no tiene solución).

Resolución paso a paso

1. Identificar el sistema a resolver y sus matrices.

El sistema de ecuaciones a trabajar es:

$$ \displaystyle \begin{cases} x + y + z = 1 \\[0.5em] x + y + z = 2 \\[0.5em] 2x -y + z = 3 \end{cases} $$

Extraemos la matriz de coeficientes (los números que multiplican a las variables):

$$ \displaystyle A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

Extraemos la matriz de los términos independientes (los números a la derecha del signo igual):

$$ \displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 \\[0.5em] 2 \\[0.5em] 3 \end{bmatrix} $$

2. Calcular el determinante del sistema (Δ).

Obtenemos el determinante de la matriz A.

$$ \displaystyle \Delta = |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta = 0 $$

Como Δ = 0, el sistema es o compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) o incompatible (no tiene solución). Para intentar descubrir cuál de los dos casos es, continuamos calculando los determinantes de las variables.

3. Calcular el determinante de x (Δx).

En la matriz A del sistema, sustituimos la columna correspondiente a la variable x por la columna de términos independientes B y calculamos el determinante:

$$ \displaystyle \Delta_{x} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\[0.5em] 2 & 1 & 1 \\[0.5em] 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\[0.8em] \Delta_{x} = -2 $$

4. Determinar el tipo de sistema.

Al evaluar los resultados obtenidos, observamos que el determinante del sistema es cero y al menos un determinante de variable es distinto de cero. Esto significa que el sistema es incompatible y no tiene solución.

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 6 días)