Calculadora de matriz escalonada reducida

Selecciona el tamaño de la matriz e introduce sus valores para calcular la forma escalonada reducida por filas paso a paso.

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de matriz escalonada reducida es una herramienta de álgebra lineal diseñada para analizar y transformar matrices generales. Al procesar la información, el motor matemático no solo te entrega la forma escalonada reducida por filas, sino que extrae las propiedades fundamentales de la matriz y genera el desarrollo de las operaciones paso a paso.

Cómo configurar e ingresar tus datos:

  1. Selecciona las dimensiones: utiliza los menús desplegables para definir el tamaño de tu matriz. El sistema soporta configuraciones desde 1 hasta 8 filas o columnas, permitiéndote trabajar tanto con matrices cuadradas como rectangulares.
  2. Introduce los elementos: completa cada celda con los valores correspondientes. La herramienta procesa números enteros, decimales y fracciones exactas. Para garantizar la máxima precisión y evitar errores de redondeo, el algoritmo mantendrá los valores en formato fraccionario a lo largo de todo el cálculo.

Una vez ejecutado el cálculo, la herramienta organizará la información en dos bloques analíticos:

1. Respuesta rápida y propiedades de la matriz

En el primer bloque destacado, el sistema te mostrará la matriz final completamente reducida. A partir de este resultado, la calculadora deducirá y listará los siguientes datos clave:

  • Rango: el número total de filas no nulas presentes en la matriz escalonada.
  • Columnas pivote: la identificación de las columnas que contienen los unos principales (pivotes).
  • Nulidad: la dimensión del espacio nulo o núcleo de la matriz (el número de columnas totales menos el rango).
  • Invertibilidad (solo matrices cuadradas): si tu matriz tiene el mismo número de filas y columnas, el sistema te indicará si es una matriz regular (invertible) o singular (no invertible) basándose en su rango.

2. Resolución paso a paso

Debajo de las propiedades, encontrarás el desarrollo algebraico detallado. El sistema te mostrará cómo se transforma la matriz original mediante operaciones elementales de fila:

  • Creación de pivotes: observarás cómo el algoritmo divide una fila completa por un escalar específico para lograr que el elemento guía de cada columna se convierta en un 1.
  • Reducción de columnas: el procedimiento detalla las sumas y restas entre filas (por ejemplo, F3 = F3 + 2F1) necesarias para anular sistemáticamente todos los elementos situados por encima y por debajo de cada pivote, hasta conseguir la forma escalonada reducida.

Nota: esta herramienta está enfocada en el análisis de matrices generales. Si tu objetivo es encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, te recomendamos utilizar nuestra calculadora de eliminación de Gauss-Jordan, la cual cuenta con opciones específicas (como matrices aumentadas) y un reporte de soluciones diseñado para ese fin.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Ejercicio 1

Encontrar la forma escalonada reducida por filas de la siguiente matriz 3x3:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 4 \\[0.5em] 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz escalonada reducida por filas es:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Cantidad de filas no nulas (rango): 3

Columnas pivote: 1, 2, 3

Nulidad: 0

Invertibilidad: La matriz es invertible (no singular).

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial.

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 4 \\[0.5em] 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} $$

2. Reducción de la columna 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 5F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & -4 & -15 \end{bmatrix} $$

3. Reducción de la columna 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 4 \\[0.5em] 0 & -4 & -15 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} + 4F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 4 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

4. Reducción de la columna 3.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} + 5F_{3} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 4 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 4F_{3} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} $$

No es posible realizar más operaciones. La matriz se encuentra en su forma escalonada reducida.

Ejercicio 2

Determinar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz dada:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\[0.5em] 2 & -3 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz escalonada reducida por filas es:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Cantidad de filas no nulas (rango): 2

Columnas pivote: 1, 2

Nulidad: 2

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial.

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\[0.5em] 2 & -3 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$

2. Reducción de la columna 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & -2 & 1 & -1 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 & 3 \\[0.5em] 1 & -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & -2 & 1 & -1 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

3. Reducción de la columna 2.

$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} + 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 1 & 3 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Se ha finalizado el proceso. La matriz ya está expresada en su forma escalonada reducida.

Ejercicio 3

Obtener la forma escalonada reducida correspondiente a la siguiente matriz de orden 4x4:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 2 & 1 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz escalonada reducida por filas es:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Cantidad de filas no nulas (rango): 4

Columnas pivote: 1, 2, 3, 4

Nulidad: 0

Invertibilidad: La matriz es invertible (no singular).

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial.

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 2 & 1 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

2. Reducción de la columna 1.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & -1 \\[0.5em] 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} - F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & -1 \\[0.5em] 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} $$

3. Reducción de la columna 2.

$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} $$

4. Reducción de la columna 3.

$$ \displaystyle F_{3} \leftrightarrow F_{4} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{-1} & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow -F_{3} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - 2F_{3} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & -1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} + F_{3} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & \boldsymbol{1} & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$

5. Reducción de la columna 4.

$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow -F_{4} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - F_{4} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 1 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 1 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} $$

Con esto concluye el procedimiento. La matriz ha llegado a su forma escalonada reducida por filas.

Ejercicio 4

Hallar la reducción por filas para la siguiente matriz:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz escalonada reducida por filas es:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Cantidad de filas no nulas (rango): 2

Columnas pivote: 1, 2

Nulidad: 1

Invertibilidad: La matriz no es invertible (es singular).

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial.

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

2. Reducción de la columna 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 4F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 7F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \\[0.5em] 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} $$

3. Reducción de la columna 2.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow -\frac{1}{3}F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} + 6F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

No hay más columnas pivote para reducir. Hemos obtenido la matriz escalonada reducida.

Ejercicio 5

Calcular la forma escalonada reducida por filas de esta matriz:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 2 & 3 & 4 \\[0.5em] 3 & 4 & 5 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$

Resultado

La matriz escalonada reducida por filas es:

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & 1 & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Cantidad de filas no nulas (rango): 2

Columnas pivote: 1, 2

Nulidad: 1

Resolución paso a paso

1. Matriz inicial.

$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 2 & 3 & 4 \\[0.5em] 3 & 4 & 5 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$

2. Reducción de la columna 1.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow F_{2} - 2F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & -1 & -2 \\[0.5em] 3 & 4 & 5 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} - 3F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & -1 & -2 \\[0.5em] 0 & -2 & -4 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} - 4F_{1} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & -1 & -2 \\[0.5em] 0 & -2 & -4 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} $$

3. Reducción de la columna 2.

$$ \displaystyle F_{2} \rightarrow -F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & -2 & -4 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{1} \rightarrow F_{1} - 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & -2 & -4 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{3} \rightarrow F_{3} + 2F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle F_{4} \rightarrow F_{4} + 3F_{2} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\[0.5em] 0 & \boldsymbol{1} & 2 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \\[0.5em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

El cálculo finaliza aquí dado que la matriz alcanzó su forma escalonada reducida.

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 semanas)