Calculadora de rango y nulidad de una matriz
Selecciona el tamaño de la matriz e introduce sus valores para calcular el rango y la nulidad.
Ejemplos rápidos
Instrucciones de uso
Esta calculadora online de rango y nulidad es una herramienta de álgebra lineal diseñada para evaluar matrices desde la dimensión 1x1 hasta 8x8 (cuadradas o no). El motor matemático procesa tus datos y te entrega de forma directa los valores solicitados, integrando toda la justificación analítica en un único panel de resultados.
Configuración e ingreso de datos:
- Define las dimensiones: utiliza los controles iniciales para establecer la cantidad de filas y columnas de la matriz con la que deseas trabajar.
- Introduce los elementos: completa cada una de las celdas de la cuadrícula. La calculadora admite el uso de números enteros, decimales y fracciones exactas.
Al ejecutar el cálculo, el sistema desplegará un bloque destacado con la respuesta integral a tu problema. Dentro de esta caja encontrarás el siguiente análisis:
- Matriz escalonada reducida: visualizarás tu matriz original llevada a su forma escalonada reducida por filas. Este es el paso fundamental para extraer las propiedades posteriores. Si necesitas ver las operaciones elementales utilizadas para llegar a este punto, te sugerimos utilizar nuestra calculadora de matriz escalonada reducida.
- Determinación del rango: observando la matriz reducida, el algoritmo extraerá el rango contando la cantidad de filas no nulas (aquellas filas que poseen al menos un elemento distinto de cero).
- Determinación de la nulidad: por último, la herramienta se basará en el teorema fundamental (teorema del rango y la nulidad o de las dimensiones) para deducir el espacio nulo. Verás cómo se extrae este valor restando la cantidad total de columnas de la matriz menos el rango calculado en el paso anterior (Nulidad = n - Rango).
Ejercicios resueltos
Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.
Ejercicio 1
Calcular el rango y la nulidad de la siguiente matriz 3x3:
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 0 & 1 & 4 \\[0.5em] 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} $$
Resultado
Rango: 3
Nulidad: 0
Luego de llevar la matriz a su forma escalonada reducida, obtenemos:
El rango es la cantidad de filas no nulas en la matriz escalonada reducida (o la matriz escalonada). En este caso, el rango es 3.
La nulidad es igual a la cantidad total de columnas de la matriz menos el rango. En este caso, la matriz tiene 3 columnas, por lo tanto la nulidad es 3 - 3 = 0.
Si quieres ver el paso a paso de la reducción, consulta la calculadora de matriz escalonada reducida.
Ejercicio 2
Hallar el rango y la nulidad de la matriz 3x4 dada:
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\[0.5em] 2 & -3 & 3 & 1 \\[0.5em] 1 & -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$
Resultado
El rango de la matriz es 2 y su nulidad es 2.
Esto lo comprobamos evaluando la forma escalonada reducida de la matriz:
Ejercicio 3
Determinar el rango y la nulidad de la matriz 4x3 dada a continuación:
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 2 & 3 & 4 \\[0.5em] 3 & 4 & 5 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$
Resultado
Esta matriz posee un rango igual a 2 y una nulidad de 1.
Podemos verificarlo al observar su correspondiente matriz en forma escalonada reducida por filas:
Ejercicio 4
Encontrar el rango y nulidad de la matriz mostrada:
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.5em] 4 & 5 & 6 \\[0.5em] 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$
Resultado
Se obtiene que el rango es 2, mientras que su nulidad equivale a 1.
Esta conclusión se evidencia tras calcular la forma escalonada reducida de la matriz:
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