Calculadora de cosenos directores de un vector

Introduce las componentes del vector (2D o 3D) para calcular sus cosenos directores y ver la resolución paso a paso.

Componentes del vector
⟨ , , ⟩

Ejemplos rápidos

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Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular los cosenos directores del vector ⟨2, -3, 6⟩.

Resultado

Los cosenos directores del vector dado son:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = \frac{2}{7} \approx 0.29 \\[1em] \displaystyle \cos(\beta) = -\frac{3}{7} \approx -0.43 \\[1em] \displaystyle \cos(\gamma) = \frac{6}{7} \approx 0.86 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes del vector.

El vector a trabajar es:

$$ \displaystyle \vec{v} = \langle 2, -3, 6 \rangle $$

Extraemos los valores de sus componentes:

$$ \displaystyle v_x = 2 \\[0.5em] v_y = -3 \\[0.5em] v_z = 6 $$

2. Calcular el módulo del vector.

Aplicamos la fórmula para obtener la magnitud o longitud del vector, necesaria para los cosenos directores:

$$ \displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = 7 $$

3. Calcular los cosenos directores.

Dividimos cada componente del vector entre su módulo para obtener el respectivo coseno director:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = \frac{v_x}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7} \approx 0.29 \\[1em] \cos(\beta) = \frac{v_y}{|\vec{v}|} = \frac{-3}{7} = -\frac{3}{7} \approx -0.43 \\[1em] \cos(\gamma) = \frac{v_z}{|\vec{v}|} = \frac{6}{7} \approx 0.86 $$

Si además de los cosenos necesitamos obtener los ángulos directores, debemos aplicar la función arcocoseno a cada valor. Puedes ver el paso a paso en la calculadora de dirección de un vector.

Hallar los cosenos directores del vector de componentes ⟨1, 2, 1⟩.

Resultado

Los cosenos directores del vector dado son:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41 \\[1em] \displaystyle \cos(\beta) = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.82 \\[1em] \displaystyle \cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes del vector.

El vector a trabajar es:

$$ \displaystyle \vec{v} = \langle 1, 2, 1 \rangle $$

Extraemos los valores de sus componentes:

$$ \displaystyle v_x = 1 \\[0.5em] v_y = 2 \\[0.5em] v_z = 1 $$

2. Calcular el módulo del vector.

Aplicamos la fórmula para obtener la magnitud o longitud del vector, necesaria para los cosenos directores:

$$ \displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{6} \approx 2.45 $$

3. Calcular los cosenos directores.

Dividimos cada componente del vector entre su módulo para obtener el respectivo coseno director:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = \frac{v_x}{|\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41 \\[1em] \cos(\beta) = \frac{v_y}{|\vec{v}|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.82 \\[1em] \cos(\gamma) = \frac{v_z}{|\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41 $$

Si además de los cosenos necesitamos obtener los ángulos directores, debemos aplicar la función arcocoseno a cada valor.

Encontrar los valores de los cosenos directores del vector ⟨-5, 12⟩.

Resultado

Los cosenos directores del vector dado son:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = -\frac{5}{13} \approx -0.38 \\[1em] \displaystyle \cos(\beta) = \frac{12}{13} \approx 0.92 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes del vector.

El vector a trabajar es:

$$ \displaystyle \vec{v} = \langle -5, 12 \rangle $$

Extraemos los valores de sus componentes:

$$ \displaystyle v_x = -5 \\[0.5em] v_y = 12 $$

2. Calcular el módulo del vector.

Aplicamos la fórmula para obtener la magnitud o longitud del vector, necesaria para los cosenos directores:

$$ \displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = 13 $$

3. Calcular los cosenos directores.

Dividimos cada componente del vector entre su módulo para obtener el respectivo coseno director:

$$ \displaystyle \cos(\alpha) = \frac{v_x}{|\vec{v}|} = \frac{-5}{13} = -\frac{5}{13} \approx -0.38 \\[1em] \cos(\beta) = \frac{v_y}{|\vec{v}|} = \frac{12}{13} \approx 0.92 $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 semanas)