Calculadora de la magnitud de un vector

Ejemplos rápidos

Instrucciones de uso

Esta calculadora online de la magnitud de un vector (también conocida como módulo, norma o longitud) es una herramienta analítica diseñada para calcular la distancia geométrica desde el origen hasta el extremo del vector. El sistema procesa los datos para entregarte la respuesta exacta, genera el desarrollo matemático paso a paso y soporta tanto el plano bidimensional (2D) como el espacio tridimensional (3D).

Cómo ingresar tus datos:

Para comenzar, utiliza el selector principal para indicarle al sistema en qué dimensión estás trabajando (2D o 3D) y elige el método de entrada que requiera tu problema:

1. Por sus componentes cartesianas: si ya tienes el vector en su forma canónica, simplemente ingresa los valores en los campos correspondientes. Para un vector bidimensional utilizarás (x, y), y para un vector tridimensional completarás (x, y, z).
2. Por sus puntos extremos: si tu ejercicio te proporciona las coordenadas de un punto inicial y un punto final, selecciona este modo e ingresa ambos puntos. El motor de la calculadora se encargará de restar las coordenadas automáticamente para construir las componentes del vector antes de calcular su magnitud.

La herramienta soporta el uso de números enteros, decimales, fracciones exactas y raíces. Te recomendamos ingresar los valores en su forma exacta (por ejemplo, como fracción) para que el motor matemático opere simbólicamente y evite arrastrar errores de redondeo.

Estructura de los resultados:

Una vez procesada la información, el algoritmo te entregará un reporte estructurado de la siguiente manera:

• Respuesta directa: en un bloque destacado en la parte superior, obtendrás el valor final del módulo del vector. Para garantizar la precisión algebraica, el resultado se presentará primero en su forma exacta (conservando raíces o fracciones irreducibles si las hay) y, a su lado, se incluirá su respectiva aproximación decimal si el problema lo requiere.
• Resolución paso a paso: a continuación, se desplegará el desarrollo del cálculo aplicando la fórmula de la norma o distancia euclidiana: |v| = √(x² + y²) para vectores en 2D, o |v| = √(x² + y² + z²) para el caso 3D.
• Representación gráfica: si estás trabajando en el plano bidimensional, el reporte finalizará con un gráfico interactivo en el plano cartesiano con el vector dibujado.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular la magnitud del vector \(\vec{v}=\langle 2, 4\rangle.\)

Resultado

La magnitud del vector \( \vec{v} \) es:

$$ |\vec{v}| = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes del vector.

El vector a trabajar es:

$$ \vec{v} = \langle 2, 4 \rangle $$

Extraemos los valores de sus componentes:

$$ v_x = 2 \\[0.5em] v_y = 4 $$

2. Aplicar la fórmula del módulo.

El módulo o magnitud de un vector se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras sobre sus componentes. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{4 + 16} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{20} \\[1em] |\vec{v}| = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $$

Encontrar el módulo del vector definido por los puntos A(-2, 5) y B(4, -3).

Resultado

El módulo del vector \( \vec{v} \) es:

$$ |\vec{v}| = 10 $$

Resolución paso a paso

1. Calcular las componentes del vector.

La información ingresada corresponde a un vector definido por un punto inicial y un punto final. Extraemos las coordenadas de cada punto:

$$ A(-2, 5) \quad \rightarrow \quad x_i = -2, \; y_i = 5 \\ B(4, -3) \quad \rightarrow \quad x_f = 4, \; y_f = -3 $$

Obtenemos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial a las coordenadas del punto final correspondiente:

$$ v_x = x_f - x_i = 4 - (-2) = 6 \\[1em] v_y = y_f - y_i = -3 - 5 = -8 $$

Por lo tanto, el vector resultante es:

$$ \vec{v} = \langle 6, -8 \rangle $$

2. Aplicar la fórmula del módulo.

El módulo o magnitud de un vector se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras sobre sus componentes. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{36 + 64} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{100} \\[1em] |\vec{v}| = 10 $$

Determinar la norma del vector \(\vec{v}=\left\langle -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{5}\right\rangle.\)

Resultado

La norma del vector \( \vec{v} \) es:

$$ |\vec{v}| = \dfrac{\sqrt{61}}{10} \approx 0.78 $$

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes del vector.

El vector a trabajar es:

$$ \vec{v} = \left\langle -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{5} \right\rangle $$

Extraemos los valores de sus componentes:

$$ v_x = -\dfrac{1}{2} \\[0.5em] v_y = \dfrac{3}{5} $$

2. Aplicar la fórmula del módulo.

El módulo o magnitud de un vector se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras sobre sus componentes. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{25}} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{\dfrac{61}{100}} \\[1em] |\vec{v}| = \dfrac{\sqrt{61}}{10} \approx 0.78 $$

Encontrar la longitud del vector cuyo punto inicial es (1, 1) y final es (-3, -4).

Resultado

La longitud del vector \( \vec{v} \) es:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{41} \approx 6.4 $$

Resolución paso a paso

1. Calcular las componentes del vector.

La información ingresada corresponde a un vector definido por un punto inicial y un punto final. Extraemos las coordenadas de cada punto:

$$ A(1, 1) \quad \rightarrow \quad x_i = 1, \; y_i = 1 \\ B(-3, -4) \quad \rightarrow \quad x_f = -3, \; y_f = -4 $$

Obtenemos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial a las coordenadas del punto final correspondiente:

$$ v_x = x_f - x_i = -3 - 1 = -4 \\[1em] v_y = y_f - y_i = -4 - 1 = -5 $$

Por lo tanto, el vector resultante es:

$$ \vec{v} = \langle -4, -5 \rangle $$

2. Aplicar la fórmula del módulo.

El módulo o magnitud de un vector se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras sobre sus componentes. Sustituimos los valores en la fórmula:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{16 + 25} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{41} \\[1em] |\vec{v}| = \sqrt{41} \approx 6.4 $$

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