Calculadora de suma de vectores

Introduce las componentes de los vectores (o sus módulos y ángulos) para obtener el vector resultante de la suma de ellos usando el método algebraico paso a paso y el método gráfico en el plano cartesiano.

Vector a
⟨ , ⟩
Vector b
⟨ , ⟩

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de suma de vectores es una herramienta matemática y física diseñada para operar tanto en el plano bidimensional (R2) como en el espacio tridimensional (R3). Es ideal para resolver ejercicios de geometría analítica o problemas aplicados, como la suma de fuerzas vectoriales. Además de darte el resultado directo, el sistema genera el desarrollo analítico y una representación gráfica.

Configuración e ingreso de datos:

  1. Selecciona la dimensión: utiliza el selector principal para indicarle a la herramienta si trabajarás con vectores en R2 (ejes x, y) o en R3 (ejes x, y, z).
  2. Añade tus vectores: el sistema permite sumar hasta 4 vectores simultáneamente. Cada vector cuenta con un bloque individual donde ingresarás sus valores numéricos. Adicionalmente, el motor soporta el uso de fracciones exactas y números enteros o decimales.
  3. Modo R2 (2D): por cada bloque vectorial, podrás elegir en un menú desplegable el formato de entrada de tus datos. Puedes introducir el vector mediante sus componentes rectangulares (x, y) o utilizando su módulo y ángulo (coordenadas polares). Es posible mezclar formatos; por ejemplo, ingresar el primer vector por componentes y el segundo por su magnitud y dirección.
  4. Modo R3 (3D): al trabajar en tres dimensiones, la entrada de datos se realiza exclusivamente mediante componentes (x, y, z).

Una vez procesados los datos, la herramienta estructurará la respuesta en tres secciones principales:

1. Respuesta rápida
En el primer bloque destacado encontrarás la solución directa a tu problema. Aquí se mostrará el vector resultante exacto y su aproximación decimal (si aplica). También se detallarán la magnitud total (módulo) y la dirección.

2. Resolución paso a paso
A continuación, se desplegará todo el método analítico utilizado para llegar al resultado. El algoritmo te mostrará el siguiente desarrollo lógico:

  • Conversión de formatos: si en el modo R2 ingresaste algún vector mediante su módulo y ángulo, el sistema mostrará cómo usar las funciones trigonométricas (seno y coseno) para convertirlo a su forma de componentes rectangulares.
  • Suma algebraica: verás la suma individual de cada dimensión, agrupando todas las componentes en X (Rx = ax + bx...), todas las componentes en Y, y las componentes en Z si estás en R3.
  • Armado y cálculo final: con las sumatorias resueltas, se ensamblará el vector resultante. Luego, la calculadora aplicará el teorema de Pitágoras para hallar la magnitud. Finalmente, calculará la dirección; en R2 usando la función arcotangente, y en R3 calculando los tres ángulos directores (alfa, beta y gamma) respecto a cada eje coordenado.

3. Gráfico interactivo
Para problemas en dos dimensiones, la parte inferior de los resultados incluirá un plano cartesiano interactivo. Aquí la herramienta aplica el método gráfico (método del polígono o de cabeza y cola). Verás cómo cada vector se dibuja comenzando exactamente donde termina el anterior, y cómo el vector resultante se traza uniendo el origen de coordenadas con la punta del último vector, permitiéndote comprobar visualmente la geometría del ejercicio.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular el vector resultante de la suma de \(\vec{a}=\langle 3, 4\rangle\) y \(\vec{b}=\langle-1, 2\rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 2, 6 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = 2 \sqrt{10} \approx 6.32 \)

Dirección: \( \theta \approx 71.57^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 3, 4 \rangle \qquad \vec{b} = \langle -1, 2 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = 3, \; a_y = 4 \\[1em] b_x = -1, \; b_y = 2 $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x = 3 + (-1) = 2 \\[1em] R_y = a_y + b_y = 4 + 2 = 6 $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 2, 6 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (6)^2} = 2 \sqrt{10} \approx 6.32 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta = \arctan\left(\frac{6}{2}\right) \approx 71.57^\circ $$
Gráfico en el plano cartesiano de la suma de dos vectores usando el método gráfico del polígono. Ejemplo 1.
Método gráfico para la suma
Calcular la suma de los vectores dados por módulo y ángulo |a| = 5, α = 30°; |b| = 8, β = 120°.

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle \frac{5 \sqrt{3}}{2}-4, 4 \sqrt{3}+\frac{5}{2} \right\rangle \approx \langle 0.33, 9.43 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{89} \approx 9.43 \)

Dirección: \( \theta \approx 87.99^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están definidos por su magnitud y dirección:

$$ \displaystyle |\vec{a}| = 5, \; \alpha = 30^\circ \\[0.5em] |\vec{b}| = 8, \; \beta = 120^\circ $$

Descomponemos cada vector en sus componentes rectangulares multiplicando la magnitud por el coseno y el seno del ángulo respectivo.

Descomponemos el vector a:

$$ \displaystyle a_x = |\vec{a}| \cos(\alpha) = 5 \cos(30^\circ) = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \\[0.5em] a_y = |\vec{a}| \sin(\alpha) = 5 \sin(30^\circ) = \frac{5}{2} = 2.5 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2} \right\rangle $$

Descomponemos el vector b:

$$ \displaystyle b_x = |\vec{b}| \cos(\beta) = 8 \cos(120^\circ) = -4 \\[0.5em] b_y = |\vec{b}| \sin(\beta) = 8 \sin(120^\circ) = 4 \sqrt{3} \approx 6.93 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{b} = \left\langle -4, 4 \sqrt{3} \right\rangle $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x = \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right) + (-4) = \frac{5 \sqrt{3}}{2}-4 \\[1em] R_y = a_y + b_y = \left(\frac{5}{2}\right) + \left(4 \sqrt{3}\right) = 4 \sqrt{3}+\frac{5}{2} $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle \frac{5 \sqrt{3}}{2}-4, 4 \sqrt{3}+\frac{5}{2} \right\rangle \approx \langle 0.33, 9.43 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}-4\right)^2 + \left(4 \sqrt{3}+\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{89} \approx 9.43 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta = \arctan\left(\frac{4 \sqrt{3}+\frac{5}{2}}{\frac{5 \sqrt{3}}{2}-4}\right) \approx 87.99^\circ $$
Gráfico en el plano cartesiano de la suma de dos vectores usando el método gráfico del polígono. Ejemplo 2.
Método gráfico para la suma de vectores
Hallar el vector resultante de la suma de \(\vec{a}=\langle -2, 5\rangle\) con el vector de módulo |b| = 6 y ángulo β = 60°.

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle 1, 3 \sqrt{3}+5 \right\rangle \approx \langle 1, 10.2 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{\left(3 \sqrt{3}+5\right)^{2}+1} \approx 10.25 \)

Dirección: \( \theta \approx 84.4^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están definidos en diferentes formatos:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -2, 5 \rangle \qquad |\vec{b}| = 6, \; \beta = 60^\circ $$

Extraemos las componentes rectangulares que podamos:

$$ \displaystyle a_x = -2, \; a_y = 5 $$

Convertimos a componentes rectangulares aquellos que estén en forma de módulo y ángulo multiplicando la magnitud por el coseno y el seno del ángulo respectivo.

Descomponemos el vector b:

$$ \displaystyle b_x = |\vec{b}| \cos(\beta) = 6 \cos(60^\circ) = 3 \\[0.5em] b_y = |\vec{b}| \sin(\beta) = 6 \sin(60^\circ) = 3 \sqrt{3} \approx 5.2 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{b} = \left\langle 3, 3 \sqrt{3} \right\rangle $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x = (-2) + 3 = 1 \\[1em] R_y = a_y + b_y = 5 + \left(3 \sqrt{3}\right) = 3 \sqrt{3}+5 $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle 1, 3 \sqrt{3}+5 \right\rangle \approx \langle 1, 10.2 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(1)^2 + \left(3 \sqrt{3}+5\right)^2} = \sqrt{\left(3 \sqrt{3}+5\right)^{2}+1} \approx 10.25 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta = \arctan\left(\frac{3 \sqrt{3}+5}{1}\right) \approx 84.4^\circ $$
Gráfico en el plano cartesiano de la suma de dos vectores usando el método gráfico del polígono. Ejemplo 3.
Método gráfico para la suma de vectores
Determinar la suma de los tres vectores: \(\langle 2,-3 \rangle\), \(\langle -4, 1 \rangle\) y \(\langle 5, 4\rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 3, 2 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{13} \approx 3.61 \)

Dirección: \( \theta \approx 33.69^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 2, -3 \rangle \qquad \vec{b} = \langle -4, 1 \rangle \qquad \vec{c} = \langle 5, 4 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = 2, \; a_y = -3 \\[1em] b_x = -4, \; b_y = 1 \\[1em] c_x = 5, \; c_y = 4 $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x + c_x = 2 + (-4) + 5 = 3 \\[1em] R_y = a_y + b_y + c_y = (-3) + 1 + 4 = 2 $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 3, 2 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.61 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33.69^\circ $$
Gráfico en el plano cartesiano de la suma de tres vectores usando el método gráfico del polígono. Ejemplo 4.
Método gráfico para la suma de vectores
Obtener la suma de los vectores con componentes fraccionarios \(\vec{a}=\langle 1/2, -3/4 \rangle\) y \(\vec{b}=\langle 5/2, 1/4 \rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle 3, -\frac{1}{2} \right\rangle = \langle 3, -0.5 \rangle $$

Magnitud: \( \displaystyle |\vec{R}| = \frac{\sqrt{37}}{2} \approx 3.04 \)

Dirección: \( \theta \approx 350.54^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 1/2, -3/4 \rangle \qquad \vec{b} = \langle 5/2, 1/4 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = \frac{1}{2}, \; a_y = -\frac{3}{4} \\[1em] b_x = \frac{5}{2}, \; b_y = \frac{1}{4} $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x = \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{5}{2}\right) = 3 \\[1em] R_y = a_y + b_y = \left(-\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2} $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle 3, -\frac{1}{2} \right\rangle = \langle 3, -0.5 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(3)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{37}}{2} \approx 3.04 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta' = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta' = \arctan\left(\frac{-\frac{1}{2}}{3}\right) \approx -9.46^\circ $$

La función arcotangente arroja un ángulo de referencia. Analizando los signos de las componentes, notamos que el vector resultante se ubica en el cuarto cuadrante. Para hallar la dirección real respecto al semieje x positivo, ajustamos el resultado sumando 360°:

$$ \displaystyle \theta = \theta' + 360^\circ \approx -9.46^\circ + 360^\circ = 350.54^\circ $$
Gráfico en el plano cartesiano de la suma de dos vectores usando el método gráfico del polígono. Ejemplo 5.
Método gráfico
Calcular la suma de los siguientes vectores en R3: \(\vec{a}=\langle 2, -1, 4\rangle\) y \(\vec{b} =\langle -3, 5, 2 \rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle -1, 4, 6 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{53} \approx 7.28 \)

Ángulos directores: \( \alpha \approx 97.9^\circ, \; \beta \approx 56.67^\circ, \; \gamma \approx 34.5^\circ \)

El número α es el ángulo respecto al eje X, β respecto al eje Y, y γ es el ángulo respecto al eje Z.

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 2, -1, 4 \rangle \qquad \vec{b} = \langle -3, 5, 2 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = 2, \; a_y = -1, \; a_z = 4 \\[1em] b_x = -3, \; b_y = 5, \; b_z = 2 $$

2. Sumar las componentes de los vectores.

Sumamos algebraicamente las componentes homólogas para obtener las componentes del vector resultante:

$$ \displaystyle R_x = a_x + b_x = 2 + (-3) = -1 \\[1em] R_y = a_y + b_y = (-1) + 5 = 4 \\[1em] R_z = a_z + b_z = 4 + 2 = 6 $$

Entonces, el vector resultante de la suma es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle -1, 4, 6 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(-1)^2 + (4)^2 + (6)^2} = \sqrt{53} \approx 7.28 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Calculamos los ángulos que forma el vector resultante con cada uno de los ejes coordenados (x, y, z):

$$ \displaystyle \alpha = \arccos\left(\frac{R_x}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{53}}\right) \approx 97.9^\circ \\[1.5em] \beta = \arccos\left(\frac{R_y}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{53}}\right) \approx 56.67^\circ \\[1.5em] \gamma = \arccos\left(\frac{R_z}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{53}}\right) \approx 34.5^\circ $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 3 días)