Calculadora de resta de vectores

Introduce las componentes de los vectores (o sus módulos y ángulos) para obtener el vector resultante de la resta a - b usando el método algebraico paso a paso y el método gráfico en el plano cartesiano.

Vector a
⟨ , ⟩
Vector b
⟨ , ⟩

Ejemplos rápidos

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Instrucciones de uso

Esta calculadora online de resta de vectores es una aplicación matemática orientada a evaluar la diferencia entre dos magnitudes vectoriales. Preparada para operar en el plano (R2) y en el espacio (R3), esta herramienta permite resolver ejercicios de álgebra lineal o problemas físicos de cinemática y dinámica. Al ingresar tus datos, obtendrás la solución acompañada del procedimiento analítico y su representación geométrica.

Pasos para configurar tu cálculo:

  1. Define el espacio geométrico: utiliza el selector de la parte superior para indicarle al motor si vas a trabajar en dos dimensiones (R2) o en tres dimensiones (R3).
  2. Introduce los dos vectores: a diferencia de una sumatoria múltiple, esta operación evalúa la diferencia estricta entre dos elementos. Tienes a tu disposición dos paneles (un vector minuendo y un sustraendo) que aceptan fracciones exactas, números enteros y decimales.
  3. Modo 2D: en R2, cada vector cuenta con su propio menú desplegable de formato. Esto te permite definir el primer vector mediante sus componentes rectangulares (x, y) y el segundo a través de su módulo y ángulo (coordenadas polares), o usar el mismo formato para ambos según dicte tu problema.
  4. Modo 3D: si tu ejercicio es en el espacio tridimensional, la introducción de la información se realiza mediante componentes (x, y, z).

¿Qué resultados ofrece la herramienta?

Al procesar la información, la calculadora generará un reporte completo. Primero, visualizarás un recuadro de respuesta rápida con el vector resultante (en formato exacto y decimal), además de su magnitud y dirección. Inmediatamente debajo se desplegará la resolución paso a paso mediante el método analítico.

Para complementar el cálculo numérico en ejercicios bidimensionales, la parte inferior de la pantalla incluirá un gráfico interactivo trazado en el plano cartesiano. Ya que la resta de un vector equivale matemáticamente a sumarle su opuesto, el plano mostrará el método gráfico posicionando el primer vector y, a continuación, dibujando el segundo vector con su sentido invertido (-b). El vector diferencia nace en el origen y se conecta con el final del vector -b.

Ejercicios resueltos

Los siguientes son ejemplos de problemas resueltos por la calculadora.

Calcular la resta del vector \(\vec{a}=\langle 5, 2\rangle\) con el vector \(\vec{b}=\langle 3, 6\rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la resta a - b es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 2, -4 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 \)

Dirección: \( \theta \approx 296.57^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 5, 2 \rangle \qquad \vec{b} = \langle 3, 6 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = 5, \; a_y = 2 \\[1em] b_x = 3, \; b_y = 6 $$

2. Operar las componentes de los vectores.

A cada componente del primer vector le restamos la homóloga del segundo vector para obtener el vector resultante R:

$$ \displaystyle R_x = a_x - b_x = 5 - 3 = 2 \\[1em] R_y = a_y - b_y = 2 - 6 = -4 $$

Entonces, el vector resultante de la resta es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 2, -4 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2} = 2 \sqrt{5} \approx 4.47 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta' = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta' = \arctan\left(\frac{-4}{2}\right) \approx -63.43^\circ $$

La función arcotangente arroja un ángulo de referencia. Analizando los signos de las componentes, notamos que el vector resultante se ubica en el cuarto cuadrante. Para hallar la dirección real respecto al semieje x positivo, ajustamos el resultado sumando 360°:

$$ \displaystyle \theta = \theta' + 360^\circ \approx -63.43^\circ + 360^\circ = 296.57^\circ $$

Debido a que a - b = a + (-b), podemos usar el mismo método gráfico que en la suma pero sumando a con -b (el vector b en sentido contrario).

Gráfico en el plano cartesiano de dos vectores y el vector diferencia entre ellos calculado por el método gráfico. Ejemplo 1.
Método gráfico de resta de vectores
Determinar el resultado de la resta del vector con módulo |a| = 10 y ángulo α = 45° y el vector con |b| = 5 y β = 135°.

Resultado

El vector resultante de la resta a - b es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle \frac{15}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}} \right\rangle \approx \langle 10.61, 3.54 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = 5 \sqrt{5} \approx 11.18 \)

Dirección: \( \theta \approx 18.43^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están definidos por su magnitud y dirección:

$$ \displaystyle |\vec{a}| = 10, \; \alpha = 45^\circ \\[0.5em] |\vec{b}| = 5, \; \beta = 135^\circ $$

Descomponemos cada vector en sus componentes rectangulares multiplicando la magnitud por el coseno y el seno del ángulo respectivo.

Descomponemos el vector a:

$$ \displaystyle a_x = |\vec{a}| \cos(\alpha) = 10 \cos(45^\circ) = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07 \\[0.5em] a_y = |\vec{a}| \sin(\alpha) = 10 \sin(45^\circ) = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{a} = \left\langle \frac{10}{\sqrt{2}}, \frac{10}{\sqrt{2}} \right\rangle $$

Descomponemos el vector b:

$$ \displaystyle b_x = |\vec{b}| \cos(\beta) = 5 \cos(135^\circ) = -\frac{5}{\sqrt{2}} \approx -3.54 \\[0.5em] b_y = |\vec{b}| \sin(\beta) = 5 \sin(135^\circ) = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{b} = \left\langle -\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}} \right\rangle $$

2. Operar las componentes de los vectores.

A cada componente del primer vector le restamos la homóloga del segundo vector para obtener el vector resultante R:

$$ \displaystyle R_x = a_x - b_x = \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) - \left(-\frac{5}{\sqrt{2}}\right) = \frac{15}{\sqrt{2}} \\[1em] R_y = a_y - b_y = \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right) = \frac{5}{\sqrt{2}} $$

Entonces, el vector resultante de la resta es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle \frac{15}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}} \right\rangle \approx \langle 10.61, 3.54 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{\left(\frac{15}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} = 5 \sqrt{5} \approx 11.18 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta = \arctan\left(\frac{\frac{5}{\sqrt{2}}}{\frac{15}{\sqrt{2}}}\right) \approx 18.43^\circ $$

Debido a que a - b = a + (-b), podemos usar el mismo método gráfico que en la suma pero sumando a con -b (el vector b en sentido contrario).

Gráfico en el plano cartesiano de dos vectores y el vector resta entre ellos calculado por el método gráfico. Ejemplo 2.
Método gráfico de resta de vectores
Encontrar el vector resultante de la resta entre \(\langle -5, 5\rangle\) y el vector con magnitud |b| = 8 y ángulo β = 60°.

Resultado

El vector resultante de la resta a - b es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle -9, -4 \sqrt{3}+5 \right\rangle \approx \langle -9, -1.93 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{\left(-4 \sqrt{3}+5\right)^{2}+81} \approx 9.2 \)

Dirección: \( \theta \approx 192.09^\circ \)

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están definidos en diferentes formatos:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle -5, 5 \rangle \qquad |\vec{b}| = 8, \; \beta = 60^\circ $$

Extraemos las componentes rectangulares que podamos:

$$ \displaystyle a_x = -5, \; a_y = 5 $$

Convertimos el vector que está en forma de módulo y ángulo a componentes rectangulares multiplicando la magnitud por el coseno y el seno del ángulo respectivo.

Descomponemos el vector b:

$$ \displaystyle b_x = |\vec{b}| \cos(\beta) = 8 \cos(60^\circ) = 4 \\[0.5em] b_y = |\vec{b}| \sin(\beta) = 8 \sin(60^\circ) = 4 \sqrt{3} \approx 6.93 $$

Por lo tanto:

$$ \displaystyle \vec{b} = \left\langle 4, 4 \sqrt{3} \right\rangle $$

2. Operar las componentes de los vectores.

A cada componente del primer vector le restamos la homóloga del segundo vector para obtener el vector resultante R:

$$ \displaystyle R_x = a_x - b_x = (-5) - 4 = -9 \\[1em] R_y = a_y - b_y = 5 - \left(4 \sqrt{3}\right) = -4 \sqrt{3}+5 $$

Entonces, el vector resultante de la resta es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \left\langle -9, -4 \sqrt{3}+5 \right\rangle \approx \langle -9, -1.93 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(-9)^2 + \left(-4 \sqrt{3}+5\right)^2} = \sqrt{\left(-4 \sqrt{3}+5\right)^{2}+81} \approx 9.2 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Utilizamos la función arcotangente con la relación entre la componente vertical y la horizontal del vector resultante:

$$ \displaystyle \theta' = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1em] \theta' = \arctan\left(\frac{-4 \sqrt{3}+5}{-9}\right) \approx 12.09^\circ $$

La función arcotangente arroja un ángulo de referencia. Analizando los signos de las componentes, notamos que el vector resultante se ubica en el tercer cuadrante. Para hallar la dirección real respecto al semieje x positivo, ajustamos el resultado sumando 180°:

$$ \displaystyle \theta = \theta' + 180^\circ \approx 12.09^\circ + 180^\circ = 192.09^\circ $$

Debido a que a - b = a + (-b), podemos usar el mismo método gráfico que en la suma pero sumando a con -b (el vector b en sentido contrario).

Gráfico en el plano cartesiano de dos vectores y el vector de la resta entre ellos calculado por el método gráfico. Ejemplo 3.
Método gráfico de resta de vectores
Hallar la diferencia entre los vectores en R3 \(\vec{a}=\langle 4, -2, 5\rangle\) y \(\vec{b}=\langle -1, 3, 2\rangle.\)

Resultado

El vector resultante de la resta a - b es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 5, -5, 3 \rangle $$

Magnitud: \( |\vec{R}| = \sqrt{59} \approx 7.68 \)

Ángulos directores: \( \alpha \approx 49.39^\circ, \; \beta \approx 130.61^\circ, \; \gamma \approx 67.01^\circ \)

El número α es el ángulo respecto al eje X, β respecto al eje Y, y γ es el ángulo respecto al eje Z.

Resolución paso a paso

1. Identificar las componentes de los vectores.

Los vectores a trabajar están en formato de componentes rectangulares. Extraemos sus valores directamente:

$$ \displaystyle \vec{a} = \langle 4, -2, 5 \rangle \qquad \vec{b} = \langle -1, 3, 2 \rangle $$
$$ \displaystyle a_x = 4, \; a_y = -2, \; a_z = 5 \\[1em] b_x = -1, \; b_y = 3, \; b_z = 2 $$

2. Operar las componentes de los vectores.

A cada componente del primer vector le restamos la homóloga del segundo vector para obtener el vector resultante R:

$$ \displaystyle R_x = a_x - b_x = 4 - (-1) = 5 \\[1em] R_y = a_y - b_y = (-2) - 3 = -5 \\[1em] R_z = a_z - b_z = 5 - 2 = 3 $$

Entonces, el vector resultante de la resta es:

$$ \displaystyle \vec{R} = \langle 5, -5, 3 \rangle $$

3. Calcular la magnitud del vector resultante.

Aplicamos la fórmula del módulo de un vector con las componentes obtenidas:

$$ \displaystyle |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \\[1.5em] |\vec{R}| = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2 + (3)^2} = \sqrt{59} \approx 7.68 $$

4. Calcular la dirección del vector resultante.

Calculamos los ángulos que forma el vector resultante con cada uno de los ejes coordenados (x, y, z):

$$ \displaystyle \alpha = \arccos\left(\frac{R_x}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{59}}\right) \approx 49.39^\circ \\[1.5em] \beta = \arccos\left(\frac{R_y}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{-5}{\sqrt{59}}\right) \approx 130.61^\circ \\[1.5em] \gamma = \arccos\left(\frac{R_z}{|\vec{R}|}\right) = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{59}}\right) \approx 67.01^\circ $$

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Daniel Machado

Profesor de Matemática, graduado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones (UNAM). Desarrollador y creador de RigelUp, dedicado a construir herramientas para el aprendizaje matemático.

Última actualización: (hace 2 días)